反证法教学活动设计方案

人民教育出版社.数学.九年级（上册）

24.2.1点与圆的位置关系（第2课时）——反证法

一、内容和内容解析

1.内容

通过实例体会反证法的含义．

2.内容解析

《义务教育数学课程标准（2011版）》要求：通过实例体会反证法的含义.学生对于反证法的思想在前面的学习中已经有所接触，在反证法的教学中，要使学生了解用反证法证明的基本思路和一般步骤，对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一种间接证法.用反证法证明命题时，要假设待证命题的结论不成立，必须考虑结论反面的所有可能情况.如果只有一种，否定这一种就可以了，如果有多种，必须一一否定. 基于以上分析，确定本节课的教学重点：在简单的实例中体会反证法的含义.

二、目标和目标解析

1．目标

（1）在简单的实例中体会反证法的含义；

（2）在反证法证明命题的实例中，掌握用反证法证明命题的方法与步骤.. 2．目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能判断一个需使用反证法证明的命题特征，能判断出反证法证明命题的过程、步骤特征.

达成目标（2）的标志是：能判断并写出反证法证明命题的步骤中的矛盾点. 三、教学问题诊断分析

学生虽然已经对于反证法的思想在前面的学习中已经有所接触，但是对反证法的含义及证明步骤还不熟悉，因此需要结合具体的实例让学生体会反证法的含义及使用反证法证明命题的过程及步骤.对于反证法的教学，教科书只是让学生结合具体例子了解.在分析“由假设出发，经过推理论证得出矛盾”时，要注意推理的严密性，必须步步有据，并且一定要真正理解矛盾在哪里，这也是学生感到困难的地方，教学时要帮助学生克服这个难点. 本课的教学难点是：理解反证法逻辑推理的矛盾点. 四、教学流程设计

了解反证法

1 阅读反证法

提炼反证法

体会反证法

总结反证法

五、教学过程设计

环节一：了解反证法

引例：路边苦李的故事（动漫微视频（2分钟）

相传，古代有位叫王戎的孩子，有次与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？

问题1：你猜王戎怎么回答？请同学猜猜看？（请2个学生表达看看，然后再将视频看完）

师生活动：教师让学生讲述该故事，让学生说说自己的猜想.王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李”.小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 追问：这是一种怎样的推理方式？（老师梳理表达，PPT呈现）

假如不是苦李，

那么在路边李树上的李子必被摘光，

这与“李树上结满果子”矛盾，

所以必是苦李.

【设计意图】：通过学生耳熟能详的寓言故事，引导学生初次体会反证法的证明方式. 导入：目前已学的数学命题的证明方法（老师梳理，PPT呈现）

（1）直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法

（2）间接证明：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法. 反证法就是最常用的间接证明方法之一. 环节二：阅读反证法——【数学阅读】

问题2：数学史料介绍——数学家眼中的反证法

（1）德国数学家希尔伯特说，禁止数学家使用反证法就像禁止拳击运动员使用拳头. （2）英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明.象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让与对方！”

【设计意图】：数学文化渗透——数学家眼中的反证法，为了激发学生反证法的学习兴趣，了解反证法数学家证明命题的重要性.

给学生准备阅读材料，主要内容如下：

2

教材中的《反证法》阅读材料（一）——九年级（上册）课本94页

3

教材中的《反证法》阅读材料（二）——七年级（下册）课本58页

【设计意图】：在前面通过学生耳熟能详的寓言故事，初步体会反证法证明过程的基础上；充分挖掘和利用教材素材，引导学生通过数学阅读的方式，阅读反证法的相关资料，更深入体会反证法的证明过程.

4

环节三：提炼反证法

问题3：通过刚才的数学素材的阅读，能否总结提炼一下我们要研究的对象（反证法）的定义与步骤？

1．反证法的定义（是什么？）

反证法：假设原命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立.这种证明方法叫做反证法. 2. 反证法的步骤：（怎么做？）

第一步：假设命题结论的反面正确;（反设）

第二步：从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；（归谬）

第三步：说明假设不成立，从而得出原命题正确.（结论）

【设计意图】：引导学生的数学阅读，从阅读材料中提炼反证法的定义及证明步骤，培养数学阅读素养的同时，再次引导学生深入体会反证法的证明过程.

环节四：体会反证法

体会一：体会反证法的第一步：反设（反设命题结论）

例1．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设

．

【设计意图】：通过例子，了解反证法的第一步——该如何对原命题的结论进行反设. 练习1．试判断下列结论的反面：

1.

a＜0 反面： ．

2.

a≠0 反面： ．

3.

a∥b 反面： ．

练习2．用反证法证明“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”时，

第一个步骤是应假设

．

练习3．用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，

第一个步骤是应假设

．

练习4．（2016杭州质检）用反证法证明“已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角

求证：∠A，∠B，∠C三个内角中至少有一个角大于或等于60°”时，应先假设（

）

A．∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°

B．∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°

C．∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°

D．∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°

练习5．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（

）

A．直角三角形的每个锐角都小于45°

B．直角三角形有一个锐角大于45°

C．直角三角形的每个锐角都大于45°

D．直角三角形有一个锐角小于45°

5

【设计意图】：通过丰富练习和例子，体会反证法的第一步——该如何对原命题进行反设. 问题3：使用反证法证明命题的第一步是什么？

【师生活动】：反证法证明命题的第一步：假设命题结论的反面正确

追问：从哪些题设信息可以判断出，要用反证法证明该命题？

当命题的结论设计“否定”“至多”“至少”“无限”“无数”“唯一”时常用反证法.

【设计意图】：总结归纳，了解反证法的第一步——该如何对原命题进行反设？

原结论词

大于（>）

小于（<）

都是

都不是

至少1个

至多1个

平行

反设词

不大于

不小于

不都是

至少有一个

全都不

至少2个

相交

体会二. 体会反证法的第二步：归谬（寻找归谬点）

例2．【切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.】

(用反证法证明) 问题：如图，已知直线l是⊙O的切线，切点为A，求证：半径OA与直线l垂直. (用反证法证明) 证明：假设

，

过点O作OM⊥l，垂足为M 根据垂线段最短的性质，有

, 这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，

于是直线l与圆相交，

而这与“

”矛盾

因此，半径OA与直线l垂直

练习6．已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b．（用反证法证明）

证明：假设直线a与直线b不平行，即直线a与直线b相交，

则过M点有两条直线平行于直线c，

这与“

”矛盾，

所以假设不成立

所以a∥b．

6

练习7．用反证法证明命题：“等腰三角形的底角必为锐角．”

证明：①

设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，

而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，

这与“

”矛盾．

②

设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞“180°，

而∠A+∠B+∠C＞180°，

这与“

”矛盾．

综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．

故等腰三角形两底角必为锐角. 练习8．（2017•山西）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希帕索斯发现了无理数导致了第一次数学危机，假设是无理数的证明如下：

，

是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．

）2=2，所以，q2=2p2．

于是（）2=（于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q=2m，

所以（2m）2=2p2，p2=2m2，

于是可得p也是偶数．

这与“

”矛盾．

从而可知“所以，是有理数”的假设不成立，

是无理数．

“是无理数”的方法是（

）

C．举反例法 D．数学归纳法

（1）这种证明A．综合法 B．反证法

（2）请在划线部分填空，完成证明. 练习9．求证：经过同一直线l的三点不能作出一个圆. 证明：假设经过同一直线l的三点能作出一个圆，圆心为O 则O应在AB的垂直平分线l1上，l1⊥l 且O也在BC的垂直平分线l2上，l2⊥l 所以，l1、l2同时垂直于l，点O为l1、l2的交点，

这与“

”矛盾

7 A B C l

问题4：在用反证法证明命题的过程中矛盾点会在哪？有哪些特征？

【师生活动】：总结归纳出矛盾的类型

（1）与已知条件相矛盾；

（2）

与已知定义、定理、公理相矛盾；

（3）

推出自相矛盾的结果. 【设计意图】：从多个例题中，引导学生总结归纳矛盾点的类型

练习10．已知△ABC中，∠A=90°，求证：∠B必定是锐角

书写证明过程：

假设

则

所以

这与“

”矛盾

所以

【设计意图】：引导学生尝试自己写出证明过程，深刻体会简单命题用反证法的证明过程. 环节五：总结反证法

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生总结归纳：

（1）命题具有哪些特征词想到使用反证法证明？

当命题的结论涉及“否定”“至多”“至少”“无限”“无数”“唯一”时常用反证法. （2）使用反证法证明命题，关键是什么？能否归纳一下矛盾点的类型？

与已知条件相矛盾；与已知定义、定理、公理相矛盾；

推出自相矛盾的结果. （3）用反证法证明命题的难点在哪里？

总之，“反证法”的智慧：正难则反，逆向思维. 【设计意图】：引导学生总结回顾本节课所学的反证法的重点、难点与关键点

数学文化渗透——数学家眼中的反证法

（1）德国数学家希尔伯特说，禁止数学家使用反证法就像禁止拳击运动员使用拳头. （2）英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明.象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让与对方！”

【设计意图】：数学文化渗透，结合数学家眼中的反证法说明反证法在证明数学问题中的特殊意义. 8