用频率作为概率的估计值教学设计实例

《

用频率估计概率

》教学设计

一、内容和内容解析

1、

本课数学内容

本课数学内容为湘教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册“25.3用频率估计概率”。

2、本课数学内容解析

瑞士数学家雅各布·伯努利（1654－1705）被公认为是概率论的先驱之一，他最早阐明了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。基于此，我们可以用这个稳定的频率作为事件发生的概率──“一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数P附近，那么事件A发生的概率P（A）=P。

”这也就是概率的统计定义。

用频率估计概率，充分体现统计与概率的基本思想，他们的实质都是偶然的现象中包含着必然的规律。

“用频率估计概率”是

“概率”这一章的第三节，是在学生学习了概率及概率的计算之后对概率的进一步研究。

教材这样编排其主要意图有三：1、遵从概率的产生及发展规律。

历史上概率（指客观概率）的定义经历了三个阶段：①概率的古典定义；②概率的统计定义；③概率的公理化定义。

2、符合学生的认知规律。

概率的古典定义相对简单，所涉事件的概率有确定的结果，学生易于接受，而概率的统计定义其内涵更为深刻。

3、相对于概率的古典定义，用频率估计概率的方法更具一般性与普遍性，它不受列举法求概率两个条件的限制，适用范围更广。

初学统计概率的学生并不是难在用频率估计概率，而是难在多大程度上感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，然后自觉地运用到实际生活中。所以，要发动学生积极参与，动手实验，在实践中感悟。在这一节内容中，必须解决三个问题：一是用频率估计概率的必要性；二是用频率估计概率的合理性；三是会用频率估计概率，从而解决实际问题。

3、

本课数学内容的重点和难点

本节的教学重点是：以实例为载体，在大量的重复实验中体会用频率估计概率的必要性与合理性（不是讲道理），进而进一步体会概率的意义。

1

本节的教学难点是：大量重复试验得到频率稳定值的分析，对频率与概率的关系的理解。

二、目标和目标解析

初中数学新课程标准（2011版）对本节课的要求是“知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率”。结合本节课的内容特点及教学重点制定了如下教学目标：

1、了解用频率估计概率的必要性和合理性，初步理解概率的统计定义。

用频率估计概率的必要性是通过林书豪三分绝杀事件进行说明，以问题链的形式引导，①问什么让林书豪投最后一球？②你能计算出林书豪投三分球的命中率么？（前面学习了概率的计算方法，列举法、列表法和树状图，但发现这些方法都用不了，给学生一个直观的冲突，进而得到用频率估计概率的必要性）。

用频率估计概率的合理性是通过模拟掷硬币软件验证的，在课堂上同学们自己动手实验比较耗时，而且不能做到大量重复，所以利用模拟掷硬币软件代替。

2、

能通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率。

能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部所蕴涵的客观规律——频率的稳定性。

知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值。

3、培养学生的动手能力和处理数据的能力，培养学生的理性精神。 在经历用试验的方法探究概率的过程中，培养学生的动手能力、处理数据的能力，进一步增强统计意识、发展概率观念，同时培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及交流与协作的精神。

三、教学问题诊断分析

1、频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性大小，但频率本身是随机的，在试验前不能确定，只有在大量重复试验的条件下，可以近似地作为这个事件的概率。

概率是巨大数据统计后得出的结论，是一种大的整体趋势，是频率在理论上的期望值，它是一个确定的常数，与试验次数无关。

频率与概率是从量变到质变，是对立统一的。

对于两者关系的理解初学者还需要一个循序渐进的过程。

2、在实验环节有如下两个问题：一是由于实验教具不完善，学生的操作出现

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了错误，经过及时修正对最后的结果影响不大；二是由于误差的不可避免以及试验次数还未达到大量，所以个别组求出的频率与概率误差偏大。

3、容易忽略“大量重复试验”这个用频率估计概率前提条件。

这一问题的出现是对概率思想的内涵把握不够所致。

概率是针对大量重复试验而言的，如果试验次数太少，试验频率可能会与理论概率值产生较大的偏差，进而不能合理的估计概率。

四、教学支持条件分析

在知识层面上，学生在八年级下册第五章《频数及其分布》中已经学习了频率；在本章的前两节分别学习了概率、概率的计算方法（列举法、列表法和树状图），本节课是用频率估计概率的第一节内容。

在技术层面上，本节课使用到了交互式白板、视频、模拟掷硬币软件、随机抽取器和在线实验辅助教学，这些信息技术工具有机的整合在一起，使得本节课更加科学严谨、更加高效、更加具有趣味性。

五、教学过程设计

1、课前抽测

针对初中生的记忆特点，在每节新课之前对前面知识进行一个检测，这是每堂新课我都要做的。这一节课既是对频率和概率知识进行一个简单的复习，同时也为本节课的学习做铺垫。利用随机抽取器点名提问：

①、抛掷一枚均匀的硬币，正面向上的概率是 。

②、小明抛掷一枚硬币50次，其中有21次正面向上，则正面向上的频率为 。

设计意图：利用随机抽取器点名一方面能激起学生的学习热情，提高注意力；另一方面复习随机事件，体会随机事件就在我们身边。设计这两道题目的目的是区分频率与概率。概率是表示某件事情发生的可能性的大小的数值，具有唯一性，是理想化的东西；频率是频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性大小，但频率本身是随机的，在试验前不能确定，是“现实”。

2、新知引入

3

从同学们都很感兴趣的篮球比赛说起，NBA2011-2012赛季，2月15日尼克斯VS猛龙的比赛中，在最后5秒钟的时候林书豪进了一个三分球扭转局面，反败为胜。

（1）为什么让林书豪来投最后一球？

（2）教练怎样知道林书豪的命中率高一些？

（3）频率与概率之间的“桥梁”是什么？

设计意图：从学生感兴趣的篮球比赛入手，一方面是为了激发学生的听课热情；另一方面通过对最后一球的研究得出用频率估计概率的必要性。投三分球命中是一个随机事件，但为什么让林书豪来投呢？（因为他的命中率高些）教练是怎样知道他的命中率高些呢？（通过平时大量的训练知道的，但这不能用前面求概率的方法来求）给学生一个冲突（前面学习的概率的计算方法求不了），进而得到用频率估计概率的必要性。

3、

探究新知

引入新课后，马上介绍用频率估计概率的数学史，也就是用频率估计概率的起源，而任何一个发现必须经过验证才能成为理论，进而才能推广和使用。但由于用频率估计概率的特殊性，我们无法用演绎推理来证明，只能通过大量重复的试验来验证，而课堂上时间有限很难真正的做到大量，所以这里我用计算机进行模拟试验。掷一枚均匀的硬币正面向上的概率是1/2（课前抽测已求），那在实际的操作中是不是这样呢？

设计意图：掷硬币试验非常简单，并且掷一枚硬币正面向上的概率很容易求出，通过计算机模拟试验我们可以发现：①少量试验时，频率和概率的偏差较大，不能用频率该估计概率：②大量试验时，频率在概率附近波动，偏差较小，可以用

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频率估计概率。用计算机进行模拟试验，快速直观，投掷次数方便控制，对大量重复试验频率可以估计概率这一说法有较强的说服力。

因此我们可以得到：

1、通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率；

2、用频率估计概率，试验的次数越少，误差越大，试验的次数越多，误差越小。

《新课程标准》（2011版）明确指出：要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。因此在通过间接经验得出结论后，让学生通过直接经验来检验，即分组（一、二、三组试验一；四、五、六组试验二）试验。试验要求：①、以学共体为单位，每个学共体做100次试验，采用数据累加的方式，试验次数达标后汇总到组长处，进行数据分析；②、各组展示时要先求出所做试验的频率，再分析所做试验，并说一说自己的发现；③、频率的计算可以使用计算器。

试验一（摸球）：

问题：一个不透明的袋子内有红球和黄球共4个，通过摸球试验估算出红球的个数

试验：随机的从袋子里摸出一个球，记录后放回，重复200次，每隔25次，分别记录“摸出红球”的次数，汇总数据完成下表：

摸球次数

摸出红球的频数

摸出红球的频率

根据上表中的数据，在下图中画折线统计图表示“摸出红球”的频率。

0.9

0.8

0.7

0.60.5

0.40.30.20.1摸出红球的频率25

50

75

100

125

150

175

200

5

我的发现：

试验二（掷骰子）：

问题：同时抛掷两枚骰子，出现的数字和为3的倍数的概率是多少？

试验：同时抛掷两枚骰子200次，每隔25次，分别记录“和为3的倍数的”的次数，汇总数据完成下表：

抛掷次数

和为3的倍数的频数

和为3的倍数的频率

根据上表中的数据，在下图中画折线统计图表示“和为3的倍数”的频率。

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0和为3的倍数的频率25

50

75

100

125

150

175

200

5075100125150175200

25我的发现：

。

设计意图：多种教学资源的应用，丰富了学生的感官。并且这样设计有两个用意，一是从两条路线进行验证，即“已知概率通过频率来检验”和“利用频率来估算概率”。二是让学生体会不同的概率都可以用频率来估算概率，例如试验一的概率

6

是3/4，试验二的概率是1/3。在实验的过程中培养学生的分工合作、数据分析、归纳总结等能力，在成果展示的过程中培养了学生语言表达、现场应变能力。

4、

巩固新知

通过学生自己动手实验，再次证明了大量的重复试验可以用频率估计概率这一说法的合理性，学以致用，那么接下来就是应用环节。首先是请同学们说一说生活中用到用频率估计概率这一理论的例子（撞骗、保险、赌博、中奖、幼苗的成活率、飞机的失事率等）。

设计意图：通过对生活中实例的辨析，进一步揭示概率的内涵──概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中反映出来。

反过来，试验次数太少时，不能合理估计概率。

然后着眼于学校，用刚刚所学内容解决学校选篮球运动员的问题。株洲市第七中学进行篮球“3分球”比赛，下表示对某篮球队员进行测试的结果：

投篮次数

命中次数

10 9 50 40 100 70 150 108 200 144 （1）根据上表，估计该运动员3分球命中的概率是多少？

（2）根据上表，假设该运动员在一场比赛中有20次投3分球的机会，估计他能得多少分？

设计意图：此题需要学生对数据进行分析和处理，具有一定的现实意义，同时又是对所学知识和好的运用。在课上我要求第10名做完的同学讲解答案，这本身也是一个随机事件，谁的回答问题的可能性大这是用到了本节所学知识。

最后是通过著名的“山羊汽车问题”，让学生对所学知识进行一个再次应用。在你面前有三个门，其中两个门里面是山羊，另外一个是汽车。你当然想得到那辆汽车，而不是臭气轰轰的山羊。主持人要求你选中一个，但是不能打开。此时主持人打开另外一个，是山羊。现在主持人问你，你要不要改成第三个门？

你可以在这里做实验：http://math。ucsd。edu/~crypto/Monty/monty。html

设计意图：玛丽莲的“汽车与山羊”的问题，曾经轰动美国，是非常著名的随机概率问题。直观上给很多人一个错觉就是换和不换是一样的，但仔细研究换的中

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奖概率是2/3，而不换的中奖概率是1/3，很明显换的中奖概率大些。在此设计是因为这个素材很有趣，并且具有一定的研究价值，在线实验很好的激发了学生的学习热情。

5、归纳小结

学生畅谈本节课所学知识点以及其他方面的收获，老师补充归纳。

设计意图：一是让学生总结出自己在“做中学”的收获，理清思路，整理经验，从而形成良好的学习习惯；二是加深学生对所学知识的记忆。

6、验收新知

1、在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有 （ ）

A、16个 B、15个 C、13个 D、12个

2、某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

①计算表中相应的“射中9环以上”的频率（精确到0。

01）；

②这些频率稳定在哪一个常数附近？

③根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0。

1）。

设计意图：针对本节课内容精选了2道习题较全面的反应了本堂课所学的知识点，形成当堂练习、有利于老师更全面更彻底的考察每一位学生的学情，它是老师、学生进行课后反思的一个更好的依据。也为下节课的设计提供了一定参考。通过学生的当堂反馈质量来对本节课的“教”作一个客观和理性的思索，真正体现出“以学论教”的教学理念。

六、目标检测设计

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首先让我们回顾下三个教学目标：1、了解用频率估计概率的必要性和合理性，初步理解概率的统计定义；2、能通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率；3、培养学生的动手能力和处理数据的能力，培养学生的理性精神。下面简单谈一谈是如何实现三个目标的：利用三分绝杀事件得到用频率估计概率的必要性，再利用模拟掷硬币软件和学生实验得到了用频率估计概率的合理性，进而实现了第一个目标；对于第二个目标是通过巩固新知和新知验收环节实现；第三个目标是内里目标，在整堂课都有体现，实验环节和展示环节最为突出。总的来说，本节课我较好的实现了教学目标。

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