试卷分析教学设计与反思

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第3课时

几何图形与一元二次关系列出方程．

(2014·黑龙江农垦)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一方程

2个底面积为1500cm的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．

解析：设小正方形的边长为xcm，则长

方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式1．掌握面积法建立一元二次方程的数表示，再根据面积，即可建立等量关系，列学模型并运用它解决实际问题．

出方程．

2．继续探究实际问题中的数量关系，解：设小正方形的边长为xcm，则可得列出一元二次方程解应用题．

这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，3．通过探究体会列方程的实质，提高宽是(60－2x)cm，根据矩形的面积的计算方灵活处理问题的能力．

法即可表示出矩形的底面积，方程可列为

(80

－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x

＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.又60－2x>0，∴x＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm.

方法总结：要从已知条件中找出关键的一、情境导入

与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．

【类型二】整体法构造一元二次方程模

型

如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的

四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长

吗？

(2014·甘肃兰州)如图，在一块二、合作探究

长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修探究点：用一元二次方程解决图形面积建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路问题

分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上【类型一】利用面积构造一元二次方程草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽模型

为x米，根据题意可列出的方程为

(2014·甘肃陇南)用10米长的铝______________．

材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(

) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6

C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 解析：解法一：把两条道路平移到靠近解析：设一边长为x米，则另外一边长矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B.

的面积为300平方米可列出方程(22－x)(17方法总结：理解题意，恰当的设未知数，－x)＝300.

把题中相关的量用未知数表示出来，用相等www.youyi100.com

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解法二：根据面积的和差可列方程：222×17－22x－17x＋x＝300.

方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．

【类型三】利用一元二次方程解决动点问题

三、板书设计

与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.

如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．

(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解．

解：(1)设xs后，可使△PCQ的面积为28cm，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝12xcm.则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整2理，得x－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s2后可使△PCQ的面积为8cm. (2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等1于△ABC面积的一半．则根据题意，得(62112－x)·2x＝××6×8.整理，得x－6x＋2212＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻．

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