2.3 抛物线（通用）教学设计和教学实录

抛物线及其标准方程（第1课时）

南宫中学

仝秀旺

【教学及培养目标】

双基：理解抛物线的定义，明确焦点、准线的概念，掌握抛物线的标准方程的推导及抛物线的标准方程；进一步学习类比、数形结合的数学思想方法，理解解析法及其应用．

能力：通过让学生积极参与，亲身经历抛物线定义和标准方程的获得过程，体验解析法在处理几何问题中的优越性；在探索抛物线定义过程中，培养分析和概括能力．

【学情分析】

1、高二学生已经具备了一定的分析推理，类比，逻辑思维能力。但学习习惯方面，主动性不强，对多方面问题的联系能力尚不成熟，以被动接受学习为主，需要设置问题逐步引导，由浅入深，层层递进

2、学生已经学习了椭圆，双曲线的定义，标准方程，几何性质，有了这些基础知识对我们下面学习抛物线的标准方程及推导标准方程作好了准备，也是这些知识的迁移和综合应用。

3、从研究椭圆双曲线到研究抛物线，跨度不大，学生在理解和处理上有一定优势. 4、学生已经初步掌握研究椭圆和双曲线的基本方法。

5、学生已熟悉求曲线方程的基本步骤。

【重点难点】

重点：抛物线的定义和抛物线的标准方程．

难点：抛物线标准方程的几种形式的选择．

【教学技巧与辅助手段】

运用多媒体（ppt）和实物投影仪等辅助教学．

【教学探究过程】

一、创设问题情景、引出概念

首先用多媒体演示“新人抛花”的画面，并让学生说出完美弧线的轨迹图．（抛物线）

教师指出：抛物线在实际生活中是很常见的，学习抛物线的有关知识也是十分必要的．

（说明：本环节由实际例子引入，让学生形成抛物线的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力．）

二、引导学生探究尝试、归纳提炼形成概念

引导：通过“农夫取水”的实例让学生感受数学的趣味性和探究学习抛物线的必要性。

探究一：农夫该怎么选择水源来灌溉自己的田？（学生思考讨论）

得出：以到井的距离到到水渠的距离相等的点所在的曲线为临界来选择。

探究二：这个边界该怎么画出呢？是什么曲线？

学生讨论：老师用几何画板画抛物线，让学生感知抛物线的形成过程，可以讨论。

让学生相互切磋，探讨研究．

探究三：作图过程中学生注意观察思考，怎么保证条件的？

（说明：按学生的认识规律与心理特征，设置一系列递进的问题，让学生动脑加感知，在实验中引导学生自己观察和强化抛物线上的点满足的几何条件，从而认识抛物线概念．）

探究四：定点在定直线时，轨迹是什么曲线？（过F且垂直于L的一条直线）

启发、归纳出抛物线的定义：

平面内到定点F的距离等于到定直线L的距离（FL）的点的轨迹叫作抛物线，这个定点叫做抛物线的焦点.

定直线叫做准线

引导学生找定义的关键处：

平面曲线；

1

①任意一点到定点F的距离等于到定直线L的距离；

②FL．

（

说明：实验中发现抛物线的几何特征，可以挖掘出抛物线定义的内涵，使得学生对抛物线的定义留下深刻印象．）

三、抛物线标准方程的推导

由老师带学生回忆椭圆双曲线的建立过程，和求曲线方程的一般步骤：建系系一般应遵循简单、优化的原则．

探究五

怎样建立坐标系，才能使求出的抛物线方程最为简单？

（说明：正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一，结合建立坐标系的一般原则──

利用曲线的几何特征，特别是对称性，可以使曲线方程简单化．可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系．）

经学生讨论易得如下方案：

设点列出方程化简方程．建Y轴，建系如图

1．建系．

过F做FNL，垂足为N，以直线NF为X轴，线段NF的垂直平分线为

2．设点．设P（x,y)为抛物线上的任意一点，因为F到L的距离为p,所以F( 3．列式．依据抛物线的定义，有

pp,0),L:x

22pp2

PPFPH即：xy0x,．

222

引导学生得出：类比椭圆双曲线，应平方再化简．

4.两边平方得抛物线方程为：y22px（p>0）

（说明：在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑．在此应抓住机会加强运算技能的训练．）

同理：开口向左的抛物线标准方程为y2px.（p>0）

思考：观察上图，能从中找出表示p的线段吗？(即：p的几何意义：焦点到准线的距离)

探究六：如果抛物线的焦点F在y轴上，过F作准线的垂线，垂足为N以FN为垂直平分线为X轴建系，抛物线的方程形式又如何？

学生讨论、交流，合情猜想可得，x2py和x-2py，它所表示的是焦点在

要求学生课后推导验证．

（说明：发挥学生的直觉思维，类比得到焦点在

探究七：如何判焦点所在的轴？

引导学生注意理解以下两点：

（1）

一次项的变量为X(或Y)则X轴为抛物线的对称抽，焦点在对称轴上

2 222轴上的抛物线标准方程．

轴上的抛物线的标准方程．）

（2）

一次项的系数决定了开口方向

四、研究例题、形成技能

例1：根据下列条件，写出抛物线的标准方程

（1）焦点是F（3，0）

（2）焦点到准线的距离是2

（先让学生分析解题思路．强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性．）

解：（1）因为抛物线的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为y22px

因为p3

所以，p=6．

2

所以所求椭圆标准方程为．y212x

（2）由题意知p=2,但焦点所在轴不确定，所以抛物线方程为y4x或y-4x

22或x24y或x24y

例2、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点M 的横坐标为2，点M到焦点的距离是3，求

抛物线方程。

（先让学生分析解题思路．除了强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性外，还要注意引导学生分析本例与例1的不同点．）

解：

由抛物线的定义知，

MFxMpp23,所以p2,所以抛物线方程为y24x

22

另法：先把M的横标代到抛物线方程得M纵标，再用MF两点间距离公式列方程求p,从而求出椭圆方程．

显然，显然计算量太大，所以要注意定义的应用

（说明：由两个例题可以总结抛物线方程有两种求法：其一（定义法）由定义转化“点到F的距离”和“点到直线的距离”，根据条件写出方程；其二（待定系数法））

五、课堂形成性练习，即时反馈

1.

求下列抛物线的焦点坐标和准线方程

(1)y220x (2)y2x2

2.已知抛物线的焦点是

F(0,-2),求它的标准方程. 3.求焦点在x轴上，

且抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离为5的抛物线的标准方程.

六、知识整理，形成系统（由学生归纳）

1．抛物线的定义（注意几何特征和限制条件）．

2．推导抛物线的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）．

3．求抛物线标准方程的方法

七、布置作业，巩固提高

1.学案1---6 2．课外拓展

为什么说二次函数y=ax2（a≠0)的图像是抛物线？你能指出它的焦点坐标和准线方程吗？

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