阅读与思考 画法几何与蒙日新颖的课程导入教案

人教A版课标版

高一数学

必修二

阅读与思考

画法几何与蒙日

浙江省余姚市第七中学

金晶

教学内容分析：

《画法几何与蒙日》是人教A版2003课标版必修二第一章《空间几何体》的阅读与思考，是§1.2空间几何体的三视图和直观图后的拓展阅读课. 本节课是在学生掌握了用三视图和直观图表示简单几何体及简单组合体的基础上，结合《蒙日画法几何》的内容，让学生了解表示空间一点位置的方式方法和原理，空间中简单对象（点、直线、平面）的二投影（迹线），以及用二投影作出线段实长的具体方法，还可以作出交点（线）、垂线（面）、平行线（面）的二投影（迹线）以及空间角的图像.一方面加深了学生对已学内容的理解，一方面联系对比了前后的学习内容，拓展了学生的眼界. 教学目标：

1.经历不同参照物对表示空间一点位置的方式方法，了解投影法；

2.了解空间中简单对象二投影的作图方法；经历用二投影作出线段实长的过程，感悟蒙日画法几何的观点、方法、魅力，感受蒙日创造性的数学天才；知道画法几何的研究内容. 3.了解画法几何与后续学习内容的联系，给将来的新课留下印象；

4.了解蒙日的生平，感受他澎湃热烈的爱国之情. 教学重点：

通过对《蒙日画法几何》的简略阅读，了解投影法的原理和优势；经历用二投影作出线段实长，感悟蒙日画法几何的思想和方法. 教学难点：

学会用二投影作出线段实长. 学情分析：

学生已经有了简单几何体、组合体的概念，学会了用三视图和直观图表示空间几何体，能根据图形理解该几何体的实际形状和相互关系，解读几何体中对应的尺寸.但是，学生还没有学习过第二章《点、直线、平面的位置关系》，对于公理、平行和垂直的定理、空间角

的定义和求法不甚了了. 教学过程：

1.引入：维度动画

【设计意图】了解维度概念，知道三视图、直观图和画法几何都是沟通三维和二维的语言. 2.提出本节课的探索目标. ①蒙日的生平与成就

②投影法与简单对象的二投影

③用二投影求线段实长

④三视图、直观图、画法几何的比较

【设计意图】明确学习任务

3. 蒙日的生平与成就

1.蒙日生平：加斯帕尔·蒙日 (1746~1818)，法国数

学家，化学家，物理学家，画法几何创始人，佩吕斯

伯爵.生于博恩的平民人家.少年时在家乡一所天主教

开设的学校学习，后转学里昂，16岁毕业，留校任物

理学教师.接着被推荐到梅育爱尔皇家军事工程学院

学习.23岁时任该校教师.26岁时被巴黎科学院选为

通讯研究员.29岁时任皇家军事工程学院"皇家数学和

物理学教授“.34岁时当选为科学院的几何

学副研究员.38岁时被任命为法国海军学员

的主考官.46岁时任海军部长8个月.51岁

时任法国著名的综合工科学校校长.72岁在

巴黎逝世. 蒙日的成就：蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴.此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就.他的《大炮制造工艺》在机械制造界影响颇大.主要著作有:《曲面的解析式》(1755)、《静力学引论》(1788)、《画法几何学》(1798)、《代数在几何学中的应用》(1802)、《分析在几何学中的应用》(1805)等. 【设计意图】全体学生了解蒙日的生平和成就，以及对人类文明作出的贡献.结合法国大革命的时间节点解读蒙日的爱国情怀. 4. 投影法与简单对象的二投影

①投影法

【师生互动】教师主导，师生一起完成投影法的探索. 大自然一切物体的表面都可看成由点组成，因此我们第一步就应该指出表示空间一点位置的方式方法. 取出一个小球作为点放置在讲台上. 问：这里有一个点，它的位置在哪里？

表示点的位置需要参照物.用什么作为参照物呢？空间中主要研究对象是点、线、面.不妨先试试以点为参照物. 已知点A，一个点到点A的距离给定，不妨设为一个单位，那么点的位置能被确定吗？可以移动吗？有规律吗？请同学们比划比划. 播放PPT，展示以A为球心一个单位为半径的球. 问：那么球面上的点、球内的点和球外的点到球心的距离有什么特征？

是且只能是球面上的点到球心的距离是定值.所以我们要确定的点在球面上.但是球面上有无数多的点，这样不能确定点的位置.于是再给定到第二个点B的距离，这样的点同时在两个球面上，是两个球面的交线. 问：两个球面的交线是什么形状? 圆上依然有无数多的点，还是不能确定点的位置，增加到第三个点C的距离.圆与球面有两个交点，指明是哪一个点即可确定点的位置. 问：接下来考虑第二种参照物——线.线有很多种，如：抛物线、圆等等，用哪种线来做参照物比较合适？考虑到表示空间一点位置的参照物和方法是技术人员交流用的常用方法，它应该是最简单的. 同理完成用到三条直线的距离和用到三个平面的距离表示点的位置的分析. 问：哪种方法最合适.

点到平面的距离就是点到平面作垂线，与垂足之间的距离.而垂足正是点的正投影.所以在投影法中，以三个平面为投影面.如果两个投影面足以解决问题，也可以用二投影，蒙日主要研究的就是二投影. ②点、直线、平面的二投影

完成点的二投影.一个点对应着唯一的二投影，一对二投影唯一确定点的位置. 完成直线的二投影.直线的投影是直线上所有点的投影，投影线互相平行，在一个平面上，与投影面相交，而两个平面的交线是直线.所以两个投影点就可确定直线的投影.特殊位置的直线投影可能是点. 完成平面的投影.是否可以参照直线的投影，用平面上的所有点的投影表示平面的位置？不能.因为平面是无限延展的，平面上所有点的投影会铺满整个投影面，这样不能确定平面的位置.蒙日用平面与投影面的交线表示.一个平面与投影面有唯一的交线，反之经过一对相交直线有且只有一个平面. 其中涉及到后续知识：平面的概念、公理3、公理2的推论.学生通过直观感知回答公理的结论，提前接触一下这些知识. 【设计意图】了解投影法，了解简单对象的投影.

③作多面体和旋转体的三视图

二投影是水平投影面和垂直投影面上的正投影，而三视图的正视图和侧视图都是垂直投影面上的正投影.所以二投影和三视图没有本质上的区别，只是观察的角度的多少而已，够用就行，以节约时间.从能力上来说，二投影和三视图是一样的. 【师生互动】教师主导，师生一起完成多面体和旋转体的三视图的. 多面体的正投影应关注点的投影，点的投影确定，连接点的棱投影就确定，棱围成的面投影就正确，这样几何体的投影就确定. 侧视图

旋转体的侧面是曲面，被平面所截，正视图中有交线（蒙日取名为相贯线）的作图.如果曲面更复杂，两个曲面的交线更难作.怎么作?这就是画法几何的一类研究方法：图示法，在二维平面上表达三位空间形体的方法.

【设计意图】了解投影法，指出画法几何的一类研究内容.

5.用二投影求线段实长（几何画板+板演）

已知线段AB的二投影A'B'和 BB''A''B''，求线段AB的实长. MB' A''AA' LB''BB''MB'把垂直投影面旋转90度，使之与水平投影 面位于同一平面上，这样就可以作图在一张纸上.其中两投影面的交线LM必需被画出. A''AA''LA'

B''A''B''BLA'

MMB'A''AB'

LA'

在白板上作线段AB的二投影，作为已知条件，并根据三视图的知识指出长对正.并在几何画板中添上辅助线.

【师生互动】

B''B问：已知对象A'B'、A''B''和所求对象AB的，构成了怎样的特殊图形？

问：梯形中腰是怎么求的？

过A作A'B'的平行线，得到了直角三角形ABE

求线段AB转化为求直角边AE和BE.

显然：AEA'B'

EMB'A''AA'LB''B作E的垂直投影E'，求直角边BE转化为求B''E'

E'MEB'A''AA'

LB''BB''BE'MEB'B''E'E'MEB'A''AA''LA'LA''AA'连接A''E'.求线段B''E'转化为找点E'，E'是两条线的交点，思考这两条线的作法. 把垂直投影面旋转至水平，思考投影纸上作图步骤.

B

B''A

A'

A''E'

B'

第一步：过A''作B'B''的垂线（或LM的平行线）交B'B''于点E'

第二步：在射线E'A''上截取线段A'B'.

LA'

M第三步：连接直角边的端点得到线段AB.

B'

这就是画法几何的另一类研究方法：图解法，在二维投影上解决空间几何问题的方法. 【设计意图】通过几何画板中线段和投影之间的关系，完成线段和投影关系的理解，推导画法，教师总结作图步骤.

练习：已知一个几何体的三视图如图所示，它的正视图和侧视图是全等的等腰直角三角形，直角边长为4厘米，俯视图为正方形.求该几何体最长棱的长度. 正视图

全体学生完成练习，学生板演. 【设计意图】经历了这个用二投影求线段实长的过程，感受画法几何的思想和方法.

6. 三视图、直观图、画法几何的比较

【师生互动】把三种方法拟人化，请学生代表三者发言，说一说对这几种方法的理解（作用、优点、缺点等）

【设计意图】拟人化加强学生代入感，加深学生对三种图的理解.回顾和小结这节课的内容. 7.作业

通过课本、图书馆或者网络等各种途径搜索《画法几何与蒙日》的资料，阅读，谈谈你的观点和收获，写成一篇小论文（不超过500字）.

俯视图

侧视图