习题2.3优秀公开课教案

直线与平面垂直的判定定理

一、教学目标

知识与技能

使学生理解并掌握线面垂直的定义及其判定定理

过程与方法

在学习过程中，培养学生善于观察问题、发现问题，分析和解决问题的能力。培养学生的空间想象能力、空间分析能力及合情推理能力。

情感态度与价值观

激发学生的学习兴趣，培养学生不断探索新知的精神，渗透事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养数学审美意识。

二、教学的重点与难点：

教学重点：线面垂直的定义、判定定理及其应用。

教学难点：直观感知、操作确认，概括出线面垂直的判定定理及其初步运用。三、教学过程设计：

教学

环节

创

设

情

境

直

观

感

知

【导入新课】

①直线和平面有几种位置关系？

②直线在平面内、直线与平面平行已经研究过，于是直线与平面相交就成为今天所要重点研究的问题。请思考，在日常生活中，哪种线面相交的情形最特殊？

今天我们就来研究这种关系（板书出示课题）

【观察思考】

通过复习提问，引出本节课所要讲授的内容，使学生在头脑中产生直线与平面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备。

教学程序(师生双向活动) 设计意图

观

察

归

纳

形

成

概

念

线面垂直在生活中的应用非常广泛，比如，大桥的桥柱与水面,旗杆与地面,城市中的某些建筑的交线与地面，都给我们以线平面垂直的形象。那么，到底怎样才算直线与平面垂直呢？（多媒体演示）

问题1：在阳光下观察直立于地面的旗杆，以及它在地面的影子，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？

问题2：随着太阳的移动影子也会发生移动，在这个过程中，旗杆所在的直线与影子所在的直线的位置关系是否会发生变化？

线面垂直定义比较抽象，若直接给出，学生只能死记硬背，这样，不利于学生思维能力的发展，因此，在教学中，应充分发挥学生的主观能动性，使其经历从实际背景中抽象出几何概念的全过程，帮助学生建立感性经验和抽象概念之间问题3：旗杆与地面上任意一条不过旗杆底部的直线的联系，实现从具体到抽的位置关系又是什么？

问题4：通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？

【形成概念】

象的过渡。

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，

我们就说直线

l与平面α互相垂直，记作：

l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。它们唯一的公共点P叫做垂足。

定义包括两个方面，一是“如果直线l与平面α内的所有直线垂直，则这条直线与平面垂直”，它可以用来判定线面垂直。二是“如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内的所有直线都垂直？”它可以用来判定线线垂直。

作用1.判定线面垂直

可以用来判断线线垂直。线线垂直与线面垂直可以相互转化。

加深概念的理解，掌握概念的本质属性。使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又

a 2.判定线线垂直ab。

b【定理探究】

探

索

研

究

操

作

确

认

理

解

应

用

虽然我们可以用定义判定线面垂直。但也有一个

问题，用定义判定线面垂直过于繁琐，且难于操作。那么我们能否找到一种更为简洁，更为直接，更易于操作的方法来判定线面垂直呢。让我们先来做个实验。

准备一个三角形纸板，过△ABC的顶点A翻折纸片，

得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：

①折痕AD与桌面垂直吗？

②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

③翻折前折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系发生变化

吗？（即AD⊥CD，AD⊥BD还成立吗？）

④如果把AD、BD、CD抽象为直线l、a、b ,那么当a、b与l无公共点时，l还垂直平面α吗？由此你能给出判定线面垂直的方法吗？

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

a,b,符号语言为：abPl

la,lb无限

作用：

线面

有限

线线

由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理。因而在探索直线与平面垂直判定定理的过程中，我力求通过实验，使一个抽象的数学定理直观地展示在学生的面前，并通过问题让学生真正体会到知识产生的过程。这样既提高学生的学习兴趣，又激发了他们解决问题的热情。同时使定理的得出变为一个合情的认识过程。有利于发展学生的合情推理能力、空间想象能力和逻辑推理能力。

使学生初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用线面垂直判定定理的条件。

例2主要规范解题，让学生充分感受到要证线面垂直就是要证线线垂直。而寻找线线垂直时，一定要注意“相交”的条件。

【初步应用】

例1：判断正误

（1）若平面外一条直线与平面内一条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。

（2）若一条直线垂直于平面内两条直线，则这条直线垂直于这个平面。

（3）若平面外一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线和这个平面垂直。

（4）若一条直线和三角形的两边垂直，则这条直线垂直于这个三角形所在平面。

（5）若一直线垂直于一个平行四边形的两边，则这条直线垂直于平行四边形所在平面。

例2：正三棱锥PABC中，M为棱BC的中点，

求证：棱BC和平面PAM垂直．

P

A

C

M

B

变式1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一

P

变

式

训

练

点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，

PB=PD. 求证：PO⊥平面ABCD

对例题适当的挖掘与变式，有利于加深学生对''''变式2、如图，在正方体ABCDABCD中，

求证AC平面BDD1B1

变式3、已知：在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，

求证：VB⊥AC；

V 线面垂直的理解，有利于提高学生的应用能力，使知识得以延伸，激发学生进一步学习的渴望与热情。在变式教学时，要注意变式是自然的，注意问题的梯度及开放性，使不同层次的学生有不同的思考纬度。

使学生对所学的知识有个比较全面的认识，对学生知识网络结构的建立有较好的指导作用。

巩固学生所学知识，培养学生自觉学习的习惯，使学生在独立研究问题方面的能力得到锻炼。

课

堂

小

结

作

业

布

置

A B C （1）直线和平面垂直的定义及作用

（2）直线和平面垂直的判定定理

（3）所蕴含的数学思想

1、教科书114页3、4 2、课后思考：证明线面垂直的判定定理2