3.3.4 两条平行直线间的距离ppt课件课堂实录

3.3.3点到直线的距离 3.3.4两条平行线间的距离的教学设计（3课时）

一、内容及其解析 点到直线的距离和两条平行线间的距离是高中课本必修2第三章直线的最后一节，其主要内容是：点到直线的距离和平行线间的距离的公式的推导及应用。在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系。点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离，求三角形的高，求圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程，抛物线的方程等等。

二、目标及其解析

目标：1、掌握点到直线的距离公式及其推导；

2、会求两平行线间的距离。

d解析：1、点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离

Ax0By0cA2B2 2、两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度，如果我们知道两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，l2：AxByC20，则l1与l2的距离为

三、问题诊断与分析

学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式,具备了探讨新问题的一定的基础知识,但大部分学四、教学设计

（一）复习准备：

（1）直线方程的一般形式：Ax+By+C=0(A,B不全为0)。

22（2）平面上两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)间的距离公式|PP12|(x2x1)(y2y1)

d|C1C2|AB22生基础较差，很难理解，还需要补充大量的练习。 （3）三角形的面积公式。

（二）探究：点到直线的距离公式

问题一：已知P (x0，y0)，直线l：Ax + By + C = 0，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l:AxByC0的距离呢?

过程：方案一：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为

B(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：A1

由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.

方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点

Rx1,y0；作y轴的平行线，交l于点Sx0,y2，

由得x1Ax1By0C0

Ax0By2C0By0CAx0C

,y2ABAx0By0C|

A所以|PR||x0x1|||PS||y0y2||Ax0By0C|

B2|RS|PRPS2A2B2|Ax0By0C|

|AB|由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.

所以d|Ax0By0C|AB22

可证明，当A = 0时仍适用.

追问：在应用此公式时对直线方程有什么要求？

说明：必须是方程的一般式。

（三）点到直线的距离公式的应用. 例1：课本P107例5 例2：课本P107例6 变式训练：求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A、B两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y

– 1 = k(x + 2)即kx

–

y + 2k + 1 = 0. 由|k22k1|k12|3k2k1|k12，

1解得k = 0或k. 2故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点.

2

1若l∥AB且kAB，则l的方程为x + 2y = 0. 2若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y

– 1 = 0或x + 2y = 0. （四）探究：两条平行线间的距离

问题二：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度，如果我们知道两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，l2：AxByC20

如何把两平行直线间距离转化为点到直线的距离？

解：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为d|Ax0By0C1|AB22

又Ax0 + By0 + C2 = 0 即Ax0 + By0= –C2，

∴d|C1C2|A2B2

追问：使用此公式的前提条件是什么？一是直线必须是一般式；二是两直线中x,y的系数必须相同。

（五）两条平行线间的距离应用

例3：课本P108例7 变式训练：求两平行线l1：2x + 3y

– 8 = 0，l2：2x + 3y

– 10 =0的距离. 解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是

d|243010|2232213

13解法二：直接由公式

d|8(10)|2232213

13练习：已知一直线被两平行线3x + 4y

– 7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.

五、课堂小结：

1. 点px1,y1到直线AxByC0的距离d=__________________.

3

2.两条平行直线l1:AxByC10与l2:AxByC20的距离是d______________. 六、目标检测设计

1．在x轴上与直线3x4y50的距离等于5的点的坐标是______________. 2.两平行线3x4y100和6x8y70的距离是_____________________. 3.若A(1,1),B(2,3),C(2,5),则△ABC中BC边上的中线AD的长为_______________. 七、配餐作业

A组

1. 已知m0,则点P(m,2m)到直线yx的距离为( )

A.2m

2

B. 32m

2C. 5m

2D. 1m

22. 若直线垂直于3x＋4y-7=0且与原点的距离为6，则该直线方程为__________. 3. 倾角为45°，且与原点距离为5的直线方程是________________________. 4.已知x轴上一点P到直线3x＋4y-6=0的距离为4，则P点坐标为________. 5.已知点A（a，6）到直线3x－４y＝2的距离d=4，求a的值.

B组

6.求与两条平行直线l1:2x3y80,l2:2x3y180的距离相等的直线方程。

7.已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3.且该直线过点（2，3），求该直线方程。

C组

8.已知A(4,2),B(2,1),在y轴上求一点P,使|PA|=2|PB|.

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