3.2.2 直线的两点式方程优质教案设计

《直线的两点式方程》教案

【教学目标】

1.知识与技能

掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围，能根据两点求直线的点斜式方程。

2.过程与方法

通过应用直线的点斜式方程的探究过程中获得两点式方程，增强比较、分析、应用的能力。

3.情感态度与价值观

通过学习直线的两点式方程的特征和适用范围，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点。

【教学重难点】

重点：直线的两点式方程。

难点：两点式方程推导过程的理解。

【教学方法】

讲授法，比较法

【教学过程】

一、复习

1.已知直线经过点p1(x1,y1)、p2(x2,y2)(x1≠x2),判断直线斜率

kp1p2y2y1x2x12、直线方程的点斜式和斜截式

yy0k(xx0)

ykxb

二、引例

应用直线方程的点斜式，求经过两点P1（1，2），P2（3，5）的直线方程。

解：直线的斜率

k523

312

由直线的点斜式方程，得：

y23(x1)

2即：3x-2y+1=0 由上述过程，我们可以看出，已知直线上两点坐标，便可得到直线方程，也即我们通常所说的“两点确定一条直线”.那么利用直线上两点坐标能直接求出直线方程吗？

三、新课内容

能否将P1，P2的坐标推广到一般情况呢?该如何推导？

解析：如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)

则直线的斜率 ky2y1

x2x1由直线的点斜式方程得：

yy1y2y1(xx1)

x2x1当y2≠y1 时，方程可写成：

yy1xx1y2y1x2x1

定义：方程yy1xx1是由直线上的两个点确定的，该方程叫y2y1x2x1做直线的两点式方程。

思考题：

问题1：哪些直线不能用两点式表示？ 分析：由解析式的分母不为0知

x1x2,且y1y2

倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示

问题2：若要包含倾斜角为0°或90°的直线，应把两点式变成什么形式？ 注：两点式可以总结为一个式子

(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)

例1：已知直线L与x轴的交点为A（a,0）,与y轴的交点为B（0，b）,其中ab≠0，求直线L的方程。

解： a0,b0 由直线的两点式方程得

y0xa

b00a即：直线方程为xy1

ab

直线与y轴交点的纵坐标为b叫做

直线在y轴上的截距；

直线与x轴交点的纵坐标为a叫做

直线在x轴上的截距。

直线方程xy1是由直线在x轴和y轴上的非零截距所决定,所以ab这个方程也叫做直线的截距式。方程它是两点式的特殊情形。

有没有直线方程不能用截距式表示？用截距式表

示直线方程时要注意什么？

分析：

当直线在x轴或在y轴上的截距为零时不能用截距式来表示

当直线在x轴或y轴上没有截距时，不能用截距式。

解决方法：分类讨论

例2:已知三角形的顶点是A（－5，0），B（3，－3）， C（0，2），如图,求这个三角形三边所在的直线的方程. 解法一：(用两点式) y直线AB经过点A(－5，0)，B(3，－3)， 2C3xA5o

y0由两点式得30x(5)3(5)

整理得3x＋８y＋15＝0 直线的方程为3x＋８y＋15＝0 同理可得：

直线BC的方程为：5x＋3y－6＝0. 直线AC的方程为：2x－5y＋10＝0 解法二：(用斜截式求BC所在直线方程) kBC2(3)5033

5x23

∴由斜截式得：

y整理得5x＋3y－6＝0这就是直线BC的方程. 解法三：(用截距式求直线AC的方程) ∵直线AC的横、纵截距分别为－5，2. x∴由截距式得：

5y21

整理得2x－5y＋10＝0这就是直线AC的方程. 例3．求经过点（4，-3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

解：设直线在轴与轴上的截距分别为a 、b，

①

当abxy1

0时，设直线方程为ab∵直线经过点（4，-3）

4a3b1

∵a=b，

b1∴直线方程为 x+y-1=0 ②

当a=b=0时，

则直线经过原点和（4，-3）

设其方程为y=kx，代入点（4，-3）

得直线方程3x+4y=0 综上，所求直线方程为 x+y-1=0或3x+4y=0 注：1:截距相等且不为0时，可假设直线方程为x+y=a a1

2:截距相等且为０，直线斜率存在且不为0时，可设直线方程为y=kx

四、课堂练习

1、求经过下列两点的直线的两点式方程，再化成斜截式方程 (1)Ａ（2，1），Ｂ（0，－3）；

(2)Ｃ（0，5），Ｄ（5，0）；

(3)Ｅ（－４，－5），Ｆ（0，0） 2.根据下列条件求直线方程， (1)在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；

(2)在x轴上的截距是－5，在y轴上的截距是6 3．根据下列条件求直线的方程：

(1)过点（0，5)，且在两坐标轴上的截距之和为2；

(2)过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2。

五、教学小结

本节课我们探讨了哪些知识? 1.直线的两点式方程

2.直线的截距式方程

3.它们各自有什么局限性?应用的时候要注意什么? 【作业布置】

习题 3.2 A组 1 （4）（6） B组 1 【教学反思】