习题3.1优质课教案整理

3.1.2

两条直线平行与垂直的判定

教学目标：

知识目标：能根据斜率判定两直线平行或者垂直，感受坐标法对沟通代数与几何，数与形之间联系的重要作用

。

能力目标：通过体验、经历用斜率研究两直线两条直线的位置关系的过程与方法，初步体会数形结合思想。

情感目标：通过对两直线平行与垂直位置关系的研究，培养学生成功意识，合作交流的学习方式，激发学生学习的兴趣。

教学重点：理解两直线平行与垂直的判断方法。

教学难点：利用直线平行与垂直的判断方法解决实际问题。

教学过程：

预习课本P86～89，思考并完成以下问题：

1、两直线平行，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？

2、两直线垂直，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？

[新知初探]

1、两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. [点睛]

(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．

(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2. 2、两条直线垂直

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. [点睛]

l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0. [小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行(

) (2)若l1∥l2，则k1＝k2(

) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直(

) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(

) A．平行

C．相交但不垂直

B．重合

D．垂直

解析：选D

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1. 3．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________. 1－24－1解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，

1－0－3－m∴m＝0. 答案：0

两条直线平行的判定

例1、

判断下列各题中直线l1与l2是否平行．

(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；

(2)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．

[解]

(1)k1＝1－－2－1－45＝1，k2＝＝. 2－－1－1－34∵k1≠k2，

∴

l1与l2不平行．

(2)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，

∴

l1∥l2.

k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．

练习：

11、经过两点C(3,1)，D(－2,0)的直线l1，与经过点M(1，－4)且斜率为的直线l2的位5置关系为(

) A．平行

C．重合

B．垂直

D．无法确定

0－11解：选A

∵kl1＝＝，

∴

kl1＝kl2. －2－35又∵kMD＝0＋441＝－≠，

35－2－1∴

l1与l2不重合，

∴

l1与l2平行．

2、在△ABC中，A(0,3)，B(2，－1)，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________．

解：∵E，F分别为边AC，BC的中点，

∴

EF∥AB. ∴

kEF＝kAB＝答案：－2

两条直线垂直的判定

例2、判断下列各题中l1与l2是否垂直．

(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；

(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；

(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．

解：(1)∵k1＝3－－471－－34＝，k2＝＝，

∴

k1k2＝1，

1－－343－－47－1－3＝－2. 2－0∴

l1与l2不垂直．

(2)

∵k1＝－10，k2＝3－21＝，

∴

k1k2＝－1，

∴

l1⊥l2. 20－1010(3)

∵l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；

k2＝

判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．

40－40＝0，则l2∥x轴，

∴

l1⊥l2.

10－－10练习：

1、若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．

解：由过两点的直线的斜率公式可得：kPQ＝3－a－b＝1，

3－b－a

∴

线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. 答案：－1 2、已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(－1,1)，C(0,2)，求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角．

解：设BC边上的高所在直线的斜率为k，

则有k·kBC＝－1. 2－1∵

kBC＝＝1，

∴

k＝－1. 0－－1∴

BC边上的高所在直线的倾斜角为135°.

例3、(1)已知A(－1,2)，B(1,3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为(

) 94－，

A、773813C、3，3

5413

B、7，7

385

D、7，7

两直线平行与垂直的综合应用

(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．

①若l1∥l2，求a的值；

②若l1⊥l2，求a的值．

解：(1)设D(x，y)．

y－23＋2∵

AD⊥BC，

∴

·＝－1，

即：x＋5y－9＝0. x＋11－0y＋23－2∵AB∥CD，

∴

x＝，

即：x－2y－4＝0. 1＋1x＋5y－9＝0，联立

解得：x－2y－4＝0，

5y＝7.38x＝，7

故选D. (2)设直线l2的斜率为k2，则k2＝2－a＋2a＝－. 31－－2a①若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－. 3∵k1＝2－a2－aa，

∴

＝－，解得：a＝1或a＝6. 3a－4a－4经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2. ②若l1⊥l2.

1当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；

22－a当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝. a－4由k1k2＝－1可得：2－aa·－＝－1，解得：a＝3或a＝－4. a－43∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.

当直线上点的坐标含有参数时，参数的不同取值决定了两条直线不同的位置关系，因此应对参数的取值情况分类讨论，一般分为直线斜率存在和斜率不存在两种情况．

练习：

1、已知四边形MNPQ的顶点M(1,1)，N(3，－1)，P(4,0)，Q(2,2)，求证：四边形MNPQ为矩形．

证明：∵kMN＝1＋12－0＝－1，kPQ＝＝－1，

∴

MN∥PQ. 1－32－42－10＋1又∵kMQ＝＝1，kNP＝＝1，

∴

MQ∥NP，

2－14－3∴

四边形MNPQ为平行四边形．

又kMN·kMQ＝－1，

∴

MN⊥MQ，

∴四边形MNPQ为矩形．

2、已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．

解：设所求点D的坐标为(x，y)，

3－0如图，由于kAB＝＝3，kBC＝0，

0＋1∴

kAB·kBC＝0≠－1，

即：AB与BC不垂直，

故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．

①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD.

∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC，

∴

y－3＝0，即：y＝3. x此时AB与CD不平行．故所求点D的坐标为(3,3)．

②若AD是直角梯形的直角腰，

则AD⊥AB，AD⊥CD.

∵

kAD＝y－3y，kCD＝，

xx－3y－3·3＝－1.①

x由于AD⊥AB，

∴

又AB∥CD，

∴

由①②解得：x＝y＝3.②

x－3189，y＝.

此时AD与BC不平行，

55189故所求点D的坐标为5，5. 189综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或5，5.