3.3.4 两条平行直线间的距离优秀教学设计

3.3.4

两条平行直线间的距离

[学习目标]

掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离. 知识梳理

知识点一

两平行直线间的距离

1.概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离. 2.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝思考

两条平行直线间的距离公式写成d＝|C1－C2||C1－C2|A2＋B2. 时对两条直线应有什么要求？

A2＋B2答

两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等. 题型探究

题型一

两平行线间的距离

例1

求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程. 解

方法一

设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0，

∵两直线间的距离为2，

∴＝2，

52＋－122|6－m|∴m＝32或m＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. 方法二

设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0. 10，，

在直线5x－12y＋6＝0上取一点P02点P0到直线5x－12y＋c＝0的距离为：

d＝－12×1＋c2|c－6|52＋－122＝13，

|c－6|由题意得＝2，则c＝32或c＝－20. 13∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. 反思与感悟

1.针对这个类型的题目一般有两种思路：

(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.

(2)利用两条平行直线间距离公式d＝|C1－C2|. A2＋B22.当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决. (1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，

则d＝|x2－x1|；

(2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，

则d＝|y2－y1|. 跟踪训练2

直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程. 解

若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，

由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0；

由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，

即kx－y－5k＝0. 在直线l1上取点A(0,1)，

则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，

12∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝. 5∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，

l2的方程为12x－5y－60＝0. 若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，

它们之间的距离为5，满足条件. 则满足条件的直线方程有以下两组：

l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；

l1：x＝0，l2：x＝5. 题型二

距离公式的综合应用

例3

已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l175与l2的距离是. 10(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限的点；②点P到l1的1距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5.若能，求2点P的坐标；若不能，请说明理由. 1解

(1)因为l2可化为2x－y－＝0，

2

所以l1与l2的距离为d＝因为a＞0，所以a＝3. a－－127522＋12＝10. (2)设存在点P(x0，y0)满足②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，

且c＋1|c－3|12＝·251311，即c＝或c＝. 2651311所以满足条件②的点P满足2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 26|2x0－y0＋3|2|x0＋y0－1|若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，有＝·，

552即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|. 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. 因为点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能. 13联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，

2x＝－3，0解得(舍去)，

1y＝0211联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，

6

解得37y＝18.01x0＝，9

137所以P9，18即为同时满足条件的点. 反思与感悟

解决探究性问题时，可先假设需探究的问题存在，以此为出发点寻找满足的条件.若求出的结论符合要求，则问题有解.若求出的结论与要求不符，则说明原探究问题无解.另外，运用公式解决问题要注意适用的范围及使用特点. 跟踪训练3

已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使PA＝PB，且点P到直线l的距离等于2. 解

方法一

设点P的坐标为P(a，b)，

由PA＝PB，得

(4－a)2＋(－3－b)2＝(2－a)2＋(－1－b)2，

①

化简，得a－b＝5. 由点P到直线l的距离等于2，得

|4a＋3b－2|＝2.

②

42＋32

由①②方程联立解得

a＝1，b＝－4，

a＝7，或8b＝－7.27

278所以，所求的点为P(1，－4)或P(，－) 77方法二

设点P的坐标为P(a，b)，

因为A(4，－3)，B(2，－1)，所以线段AB中点M的坐标为(3，－2).而直线AB的斜率kAB－3－－1＝＝－1，

4－2所以线段AB的垂直平分线方程为y－(－2)＝x－3，

即x－y－5＝0. 而点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，

故a－b－5＝0，①

由已知点P到l的距离为2，

|4a＋3b－2|得，②

42＋22a＝1，由①②方程联立，解得或b＝－4

8b＝－7.27a＝，7

278所以，所求的点为P(1，－4)或P(，－). 77数学思想

数形结合思想

例4

两条互相平行的直线分别过A(6,2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：

(1)d的取值范围；

(2)当d取最大值时，两条直线的方程. 分析

由于平行线的倾斜角不同，两平行线间的距离不同，故可以利用几何图形探索d的取值变化情况. 解

(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝6＋32＋2＋12＝310，

当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0＜d≤310，

即所求的d的取值范围是(0,310]. (2)当d取最大值310时，两条平行线都垂直于AB，

11它们的斜率k＝－＝－＝－3. kAB2－－16－－3故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 解后反思

通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围. 易错点

忽略斜率不存在的情形致误

例5

求经过点A(1,2)，且到原点的距离等于1的直线方程. 分析

当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，验证此直线到原点的距离是否等于1；当斜率存在时可设为y－2＝k(x－1)，利用点到直线的距离公式求k. 解

当过点A的直线垂直于x轴时，

因为它到原点的距离等于1，

所以满足题设条件，其方程为x－1＝0；

当过点A的直线不垂直于x轴时，

设所求的直线方程为y－2＝k(x－1)，

即kx－y－k＋2＝0. 因为原点到此直线的距离等于1，

|－k＋2|所以2＝1. k＋13解得k＝. 43故所求直线的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0. 4综上，所求直线的方程为x－1＝0或3x－4y＋5＝0. 解后反思

本题易出现的错误是直接利用点斜式设出方程，由点到直线的距离得方程求k，漏掉了直线x＝1.用直线的点斜式方程来解题，一定要考虑斜率不存在的情况，对于斜率不存在的特殊直线，很多情况也符合题意. 当堂检测

1.P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意的点，则|PQ|的最小值为(

)

918A.

B.

C.3

D.6 55答案

C |3－－12|解析

将6x＋8y＋6＝0化为3x＋4y＋3＝0，由两平行线间的距离公式得d＝＝3，32＋42则|PQ|min＝d＝3. 2.若点(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围是(

) A.[0,10]

C.(0,10)

答案

A |4×4－3a－1||15－3a|解析

d＝＝≤3，|3a－15|≤15，∴－15≤3a－15≤15,0≤a≤10. 542＋－323.若点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的方程是(

) A.32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0 B.x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0 C.7x＋4y＝0 D.x－4y＋4＝0 答案

A |5x－12y＋13||3x－4y＋5|解析

设点P的坐标为(x，y)，则根据题意得2＝2，整理得32x－56y5＋－1223＋－42＋65＝0或7x＋4y＝0. 4.分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________. 答案

5 解析

d＝|3－(－2)|＝5. 5.与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是___________. 答案

12x＋8y－15＝0 3解析

l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l2315的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋|，解得c＝－，所以l的方程为12x＋8y－1524＝0. 131B.3，3

D.(－∞，0]∪[10，＋∞) 课堂小结

1.两条平行线间的距离处理方法有两种：

一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的转化与化归思想. 二是直接套用公式d＝|C1－C2|A2＋B2，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同.