3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案设计范例

第三章

3.1

3.1.1

基础巩固

一、选择题

1．下列四个命题中，正确的命题共有(

) ①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率；

②直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°]；

③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；

④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα. A．0个

C．2个

【答案】A 【解析】

序号

①、④

②

③

正误

×

×

×

理由

倾斜角为90°时，斜率不存在，故①、④不正确

倾斜角的范围是[0°，180°)，故②不正确

虽然直线的斜率为tanα，但只有当α∈[0°，180°)时，α才是直线的倾斜角，故③不正确

B．1个

D．3个

2．已知点A(1,2)，在x轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为(

) A．(0,3)

C．(3,0)

【答案】

C 0－2【解析】

由题意可设P的坐标为(m,0)，则＝tan135°＝－1，解得m＝3. m－13．若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(

) A．30°

C．30°或150°

【答案】

D 【解析】

如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°. B．60°

D．60°或120°

B．(0，－1) D．(－1,0)

4．直线l的倾斜角是斜率为A．1

23C．

3【答案】

B 【解析】

∵tanα＝3的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(

) 3B．3 D．－3 3，0°≤α<180°，∴α＝30°，

3∴2α＝60°，∴k＝tan2α＝3.故选B．

5．如下图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(

)

A．k1

C．k3

【答案】

D 【解析】

可由直线的倾斜程度，结合倾斜角与斜率的关系求解．设直线l1，l2，l3的倾斜角分别是α1，α2，α3，由图可知α1>90°>α2>α3>0°，

所以k1<0

) 1A．k≥

21C．k≥或k≤－2

2【答案】

D 【解析】

过点P(2,1)的直线可以看作绕P(2,1)进行旋转运动，通过画图可求得k的取值范围．由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图．

若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，

11∵kPA＝－2，kPB＝，∴－2≤k≤. 22[点评]

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素是：一个点P和一个倾斜角α，二者缺一不可．本题过点P(2,1)的直线的位置是不确定的，用运动变化的观点看问题是数形结合的技巧．

B．k≤－2 1D．－2≤k≤

2B．k3

D．k1

二、填空题

7．求经过下列两点的直线斜率，并判断其倾斜角是0°，还是锐角、钝角或直角．

(1)C(18,8)，D(4，－4)，斜率为_________，倾斜角为_________；

(2)C(－1,2)，D(3,2)，斜率为_________，倾斜角为_________；

11(3)C(0，－)，D(，0)(ab<0)斜率为_________，倾斜角为_________. ba6a【答案】

(1)

锐角

(2)0

0°

(3)

钝角

7b8．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为_________. 【答案】

(－5,0) 【解析】

设P(x,0)为满足题意的点，则kPA＝解得x＝－5. 三、解答题

9．在同一坐标平面内，画出满足下列条件的直线：

(1)直线l1过原点，斜率为1；

2(2)直线l2过点(3,0)，斜率为－；

32(3)直线l3过点(－3,0)，斜率为；

3(4)直线l4过点(3,1)斜率不存在．

【解析】

814814，kPB＝，于是＝2×，－3－x2－x－3－x2－x

10．如右图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上．已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．

利用菱形的性质：对边平行且相等，对角线平分一求各直线利用斜率定[分析]

→→

组内对角，两条对角线互倾斜角义求斜率相垂直【解析】

因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的斜率角都是60°，斜率kOD＝kBC＝tan60°＝3. 因为OB与x轴重合，DC＝OB，所以直线OB，DC的倾斜角都是0°，斜率kOB＝kDC＝tan0°＝0. 由菱形的性质，知∠COD＝30°，∠OBD＝60°，

所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan30°＝直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，

斜率kBD＝tan120°＝－3. 规律总结：解决几何图形中直线的倾斜角与斜率的综合问题时，要善于利用几何图形的几何性质，解题时要注意倾斜角是几何图形中的夹角还是它的邻补角；也可以利用经过两点的直线的斜率公式，先求斜率，再求倾斜角．

能力提升

一、选择题

1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(

) A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°

【答案】

D 【解析】

画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在[0°，180°)内．

【解析】

根据题意，画出图形，如图所示：

3；

3

因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：

当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；

当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 故选D．

规律总结：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．

2．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(

) A．m＜1

C．－1＜m＜1

【答案】

C 【解析】

设直线l的倾斜角为α，则

m2－1kAB＝＝tanα＞0. 1－2∴1－m2＞0，解得－1＜m＜1. 3．已知A(1,23＋1)，B(－1,1)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为(

) A．1

C．3

【答案】

B 【解析】

∵kAB＝30°.其斜率k＝tan30°＝23＋1－1＝3，∴直线AB的倾斜角为60°，则直线l的倾斜角为1－－13. 3B．3

3B．m＞－1 D．m＞1或m＜－1 D．不存在

4．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，若60°＜α＜135°，则k的取值范围是(

) A．(－1，3) C．[－1，3] 【答案】

B 【解析】

当60°＜α＜90°时，斜率的取值范围是(3，＋∞)；当90°＜α＜135°时，斜率的取值范围是(－∞，－1)，故选B．

[点评]

求斜率的范围时，应把倾斜角的范围分成两部分，即0°≤α＜90°和90°＜α＜180°. 二、填空题

5．已知直线l1的斜率为3，若直线l2和l1关于y轴对称，则直线l2的斜率为_________；若直线l2和l1关于直线y＝x对称，则直线l2的斜率为_________. 【答案】

－3

3

3B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

116．若三点A(3,3)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝_________. ab1【答案】

3【解析】

由于点A，B，C共线，则kAB＝kAC，

0－3b－3111所以＝.所以ab＝3a＋3b.即＋＝. ab3a－30－3三、解答题

7．直线l的斜率为k＝1－m2(m∈R)，求直线l的倾斜角的取值范围．

π【解析】

k＝1－m2≤1，所以当k∈[0,1]时，倾斜角α∈[0，]；当k∈(－∞，0)时，4πππ倾斜角α∈(，π)，故倾斜角的范围是[0，]∪(，π)．

2428．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

【解析】

结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA．

[解析]

如图，由题意可知，直线PA的斜率kPA＝直线PB的斜率kPB＝2－0＝1，

3－14－0＝－1，－3－1(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1. (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，

故α的取值范围是45°≤α≤135°. [点评]

这里要注意斜率k的范围不是－1≤k≤1，因为直线l经过的区域包含与x轴垂直的直线．本题一般是设想直线l绕点P旋转，考查这时直线l的倾斜角和斜率的变化规律，通过对l的斜率的变化规律的分析，不难发现kPA与kPB是两个关键的数据．