3.4 生活中的优化问题举例第二课时 公开课

生活中的优化问题举例

教案设计

朱光亚

民权县高级中学

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3.4

3.4生活中的优化问题举例

1.教学目标 知识与技能

1.体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，

2.形成求解优化问题的思路和方法。

过程与方法

1.通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力。

2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。 情感、态度、价值观

培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度

2.教学重点、难点 教学重点

利用导数解决生活中的一些优化问题。

教学难点

理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。

3.教学用具 多媒体

4.教学过程 教学过程设计

1、复习导入

【师】

问题一：导数在研究函数中有哪些应用？

问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认为导数对于解决生活中的什么问题有什么作用呢？

问题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢？

【生】学生讨论回答

【师】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

2、新知学习

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问题1：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有几个方面？

（1）与几何有关的最值问题；

（2）与利润及其成本有关的最值问题；

（3）效率最值问题。

【生】学生讨论回答

问题2：解决优化问题的方法有哪些？

首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

【生】学生讨论回答

问题3：解决优化问题的的步骤是怎样的？

【生】学生讨论回答

典例探究

1 海报版面尺寸的设计

【例题1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

【分析】先建立目标函数，然后利用导数求最值.

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【规范解答】设版心的高为xdm，则版心的宽为此时四周空白面积为

因此，x=16是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

【引申思考】

在本题解法中，“【生】学生讨论回答

【师】一个函数在某个区间上若只有一个极值，则该极值即为这个区间上的最值。在实际问题中，由于常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。

【一题多解】对于本题的最值你是否还有别的解法？

【探究解答】

由解法一可得：

是函数的极小值点，也是最小值点。”为什么？

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【规范解答】

解法一：

设箱底边长为xcm，则箱高得箱子容积

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=1000px时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 解法二：

设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

（后面同解法一，略）

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．

【反思提高】

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事实上，可导函数

在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

【问题引领】

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【例题2】

【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm 【问题】

（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

【分析】先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值. 【规范解答】

由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

（1）半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大

【新视角解答】

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我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式：图象如图，能否根据它的图象说出其实际意义？

【合作探究】

当时，. 为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小；

当大。

特别的，当r=3时，利润才为正值．

当r=2时，f(2)<0，即瓶子的半径为2cm时，饮料的利润最小，饮料利润还不够饮料瓶子的成本，此时利润是负值。

磁盘的最大存储量问题

【例题3】

【背景知识】

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

【问题】

即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等，r>3时，时，为增函数，其实际意义为：瓶子的半径大于2cm时，瓶子的半径越大，利润越

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现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

（1）

是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2） r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

【规范解答】

【规范解答】

由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达所以，磁盘总存储量

【思考】根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤. 【例题总结】（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式（2）求

并确定函数的定义区间；

得出所有实数根；

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（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，

根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。

【提别提醒】

由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．

课堂练习

1 .某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多? (不到100人不组团) 【分析】先列出问题的文字模型(标准收费数-降低的收费数),再转化为数学模型. 【规范解答】

设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y 则依题意有

所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。

2.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

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答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

【变式练习】

当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取才能使所用材料最省？

5.课堂小结 6.课后习题 课本37页A组1,2；B组第1题

7.板书

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