2.1.4 平面与平面之间的位置关系公开课参赛课教案

第三节

空间点、直线、平面之间的位置关系

[考纲传真]

(教师用书独具)1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

(对应学生用书第97页)

[基础知识填充]

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

(4)公理2的三个推论

推论1

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面．

2．空间点、直线、平面之间的位置关系

平行

关系

图形语言

符号语言

图形语言

符号语言

独有

关系

图形语言

1 直线与直线

a∥b 直线与平面

a∥α

平面与平面

α∥β

相交

关系

a∩b＝A a∩α＝A

α∩β＝l

符号语言

a，b是异面直线

a⊂α

3. 平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

4．异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．

π(2)范围：0，2. [知识拓展]

异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(

)

(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(

) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(

) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(

) [答案]

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

2．(教材改编)如图7-3-1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(

)

图7-3-1

A．30°

C．60°

B．45°

D．90°

C

[连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C2

＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.] 3．在下列命题中，不是公理的是(

)

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此

平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

公共直线

A

[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．]

4．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

)

A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

A

[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．]

5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．

b与α相交或b⊂α或b∥α

(对应学生用书第98页)

平面的基本性质

(1)以下命题中，正确命题的个数是(

)

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0

B．1

C．2

D．3

(2)如图7-3-2，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求

3

证：

①E，C，D1，F四点共面；

②CE，D1F，DA三线共点．

图7-3-2

(1)B

[①中若有三点共线，则四点共面，不合题意，故①正确；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．]

(2)①如图，连接EF，CD1，A1B．

∵E，F分别是AB，AA1的中点，

∴EF∥BA1.

又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面．

②∵EF∥CD1，EF

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，

得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．

[规律方法]

1.证明线共面或点共面的常用方法：

(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．

4

(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．

(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

2．证明点共线问题的常用方法：

(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．

(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．

[变式训练1]

(1)(2018·上饶模拟)如图7-3-3所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下命题：

图7-3-3

①直线MN⊂平面PQR；

②点K在直线MN上；

③M，N，K，A四点共面．

其中正确结论的序号为________．

【导学号：79170240】

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(2)如图7-3-4所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊2AD，BE綊2FA，G，H分别为FA，FD的中点．

①证明：四边形BCHG是平行四边形；

②C，D，F，E四点是否共面？为什么？

图7-3-4

5

(1)①②③

[由题意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，

从而点M，N，K∈平面PQR.

所以直线MN⊂平面PQR，故①正确．

同理可得点M，N，K∈平面BCD.

从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故②正确．

因为A∉直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故③正确．] 1

(2)①证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊2AD. 1

又BC綊2AD，

∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形．

②C，D，F，E四点共面，理由如下：

1

由BE綊2AF，G为FA的中点知BE綊GF，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.

由①知BG∥CH，∴EF∥CH，

∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．

空间直线的位置关系

(1)(2018·金华模拟)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：

①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；

②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；

③若a∥b，则必有a∥C．

其中真命题有________．(填序号) 【导学号：79170241】

6

(2)(2017·郑州模拟)在图7-3-5中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

①

②

③

④

图7-3-5

(1)①③

(2)②④

[(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．

对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．

对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．

(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]

[规律方法]

1.异面直线的判定方法：

(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．

(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．

[变式训练2]

(2018·烟台模拟)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥B．其中正确的为(

)

A．①④

C．③④

B．②③

D．①②

A

[对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②

7

中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．]

异面直线所成的角

(1)如图7-3-6，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(

)

图7-3-6 1

A．5

3

C．5

2B．5

4D.5

(2)(2018·泸州模拟)如图7-3-7所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于________．

图7-3-7

(1)D

(2)15

[(1)连接BC1，易证BC1∥AD1，

5

则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．

8

连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，

则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，

在△A1BC1中，由余弦定理得

5＋5－24

cos∠A1BC1＝＝. 2×5×55

(2)取BC的中点G.连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，

∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH.

∴∠OEH为异面直线所成的角．

55

在△OEH中，OE＝3，HE＝2，OH＝2. OE2＋EH2－OH2

由余弦定理，可得cos∠OEH＝＝2OE·EH15＝5.] 52·3·23

[规律方法]

1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．

2．求异面直线所成角的三个步骤：

(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．

(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．

(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

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[变式训练3]

如图7-3-8，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．

【导学号：79170242】

图7-3-8

2

[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，

则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，

所以AD∥BC，

所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，

所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.

因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，

所以C1D＝2AD，

所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，

所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.]

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