3.1.3 空间向量的数量积运算名师教学设计

高二年级

数学

学科

课题

§3.1.3空间向量的数量积运算

新授课

第 1 课时

授课类型

教

学

目

标

掌握空间向量的数量积运算及向量的夹角概念；运用公式解决立体几何中的有关问题。培养学生观察、分析、类比转化的能力；探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力.

教学重点

空间向量数量积运算

如何将立体几何问题等价转化为向量问题

教学难点

板

书

设

计

§3.1.3空间向量的数量积运算

1. 两个向量的夹角

2. 两个向量的数量积

3.数量积的性质

4.数量积满足的运算律

例题解答

教学反思

教学环节及时间分配

教

师

活

动

（教学内容的呈现及教学方法）

回顾平面向量数量积的相关内容，如平面向量夹角及平面向量数学

生

活

动

（学习活动的设计）

设

计

意

图

以问题的形式引导

学生回顾量积

复习前面

类比平面向所学的平

量的数量积面向量的

1）

两个向量的夹角的定义

的有关概念、相关知识，合作

计算方法和为学习好如图，已知两个非零向量a,b.在空间任取一点O，探究

运算律推导空间向量作OAa,OBb,则角AOB叫做向量a与b的夹角，

6分

出空间向量做好铺垫。记作：a,b

的数量积的

有关概念、计

算方法和运

a

算律

bb

结合复习过

范围：0a,b在这个规定下，两向量的夹角就

的知识，学生明确空间被唯一确定了，并且a,b＝b,a自主

探究讨论

向量夹角

建构

的概念

如果a,b,则称a与b互相垂直，并记作：ab26分钟

2）两个向量的数量积

的长度叫做向量a的长度或模,记作：a

OAa,则有向线段OA合作

设

探究

已知空间两个向量a,b，则abcosa,b叫做向量a,b的数量积，4分钟

学生探究交

流讨论。

记作：ab,即

ababcosa,b

让学生对

注意：

空间向量

①两个向量的数量积是数量，而不是向量.

数量积有

②零向量与任意向量的数量积等于零

更深的理

结合平面向解

6分钟

3)空间向量的数量积性质

量的学习，让

对于非零向量

a

,b

，有：

学生自学、探

究对学生可

1)aeacosa,e

能出现的问

力求改变

2)abab0题，组织学生单一、被动

讨论、交流、2的学习方3)aaa

纠正

式，让学生

成为学习的主人，给

他们提供

注意：

问题引领

3分

学生口答

aA O B

①性质2）是证明两向量垂直的依据；

②性质3）是求向量的长度（模）的依据；

4)空间向量的数量积满足的运算律

1)(a)b(ab)

2)abba(交换律）

）3a(bc)abac(分配律）

注意：数量积不满足结合律

ab)ca(bc)（点拨

2提升

.1已知a22,b,ab225分钟

a,b所夹的角为________.

则

2

.判断真假：

1）abba,则bc()

若

2

)(ab)ca(bc) ()

k3)

a

bk,则a ( )

b点拨

提升

例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂

直,那么它也和这条斜线垂直.

12分

变式训练

设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足

ABAC0,ABAD0,ACAD0

则△BCD是 ( )

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.不确定

例2: 已知直线m ,n，是平面

内的两条相交直线,

如果lm,ln,求证: l

例3 如图，已知线段

AB

在平面内，线段AC，线段

BDAB，线段DD'，DBD'30.

，如果

a,ACBD b，求C、D之间的距离。

AB

课堂练习

1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与C1B所成

角的大小为( )

A. 60度 B. 90度 C. 105度 D.75度

学生分组讨论、纠正、

争辩，合作交流

引出共面向量定义

交流问题，给每一个学生表现个人的机会。

学生板演，注重步骤。

学生完成

鼓励学生先尝试分析。

学生展示

应用整合，强化新知

一个自主探索学习的机会.

让学生对两个问题进行对比分析，强化对空间向量的数量积运算的理解.有助于教学目标的实现，

将一个复杂问题分解成为两个简单问题，易于学生理解.

不同层次的题目，层层递进，不断提高学生的能力。不仅巩固新学的知识，而且让不同层次的学生得到不同的收获.

通过典型例题让学生理解本节的知识点

总结

评价

3分钟

布置

作业

通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：

1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、求两直线所成角. 必做题：P92 练习1、2、3

选做题： A组 1、2、3、4

学生总结归纳所学知识

培养学生总结归纳的能力

使不同的学生得到不同的锻炼