3.1.2 导数的概念主要内容及教案内容

导数的概念

（学校：平昌县响滩中学

授课人：蔡婷）

课题：导数的概念

课时：1课时

课型：新授课

一、

教学目标

1.

知识与技能目标

通过实例的分析，理解平均变化率，瞬时变化率的概念，了解它们之间的关系. 2.

过程与方法目标

通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及内涵，感悟极限思想. 3.

情感态度与价值观目标

通过对导数概念的学习，体会逼近、类比，以已知求未知，从特殊到一般的数学思想方法. 二、

教学重难点

1.

重点

导数概念的形成过程及导数概念的内涵. 2.

难点

对导数概念的理解.

三、

教学设计

（一）

复习引入，温故知新

函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为

f(x2)f(x1)yx2x1代数定义

x

几何含义

yf(x2)f(x1)f(x2)f(x1)x2x1O

x1

x2

x

函数在给定点附近的平均变化率

f(x1x)f(x1)yxx

问：在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢? （二）

讲授新知，讨论练习

（1）问题：跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对于水面的高度为Ht4.9t26.5t10,计算运动员在2秒到2t秒内的平均速度。

hh(2t)h(2)v13.14.9ttt

那么如何求运动员在第2秒的瞬时速度呢? （2）瞬时速度：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不一定能反映他在某时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t2时的瞬时速度是多少？

我们先考察t2附近的情况.在t2之前或之后，任意取一个时刻2t，t是时间的改变量，可以是正值，也可以是负值，但不能为0.当t0时，2t在2之前，当t0时，2t在2之后.计算区间2t,2和区间2,2t内的平均速度v，可以得到如下表格：

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? Ht4.9t6.5t10

2当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?

我们发现，当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1. 从物理角度看，时间间隔t无限变小时，平均速度v就无限趋近与t2时的瞬时速度.因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s. h2th2为了表述方便,我们用lim13.1t0t表示"当t2,t趋近于0时,平均速度v趋近于确定值13.1".h2th2我们称确定值13.1是当t趋近于0时的极限.t4.9t13.1当t0有4.9t13.113.1

思考:为什么要从t0和t0两方面来说明？

hh(2t)h(2)tt

hh(2t)h(2)limlim13.1t0tt0t

（3）定义：函数

yf(x)在

xx0

处的瞬时变化率是

f(x0Δx)f(x0)



ylimlimx0x0

x

x

称为函数yf(x)

在xx0处的导数, 记作f(x0)或yxx0，即

f(x0Δx)f(x0) f(x0)lim.x0

x

1.f(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。2.f(x0)与x的具体取值无关。3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

由导数的定义可知, 求函数yf(x)的导数的一般方法: 1.

求函数的改变量

yf(x0x)f(x0);

2.

求平均变化率

yf(x0x)f(x0);xx

3.

求极限

yf(x0)lim.x0x

一差、

二比、

三极限

用定义求函数的导数有以下形式：

f(x)f(x0)f(x0)lim.xx0xx0f(a)lim'4h0f(a4h)f(a)等等4h

（三）

典例分析，练习巩固

例1、

f(x0k)f（x0）的值2kk0令kx,k0x0f(x0x)f(x)1f(x0x)f(x)则原式可变形为limlim2x2x0xx01'1f(x0)2122f(x0)2,求lim

2y2x4x在x3处的导数. 例2、求函数

例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在xh时,原油的温度单位:0C为fxx27x15(0x8).计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

（四）

归纳小结，加深印象

函数的变化率

平均变化率

定义

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

为_______________________, Δy简记作:. Δx函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平瞬时变化率

均变化率在Δx→0时的极限,即limΔy

＝

Δx→0Δx

______________________________

实例

①平均速度;

②曲线割线的斜率. ①瞬时速度:物体在某一时刻的速度;

②切线斜率. 作用

刻画函数值在区间________上变化的快慢

刻画函数值在______附近变化的快慢. 1求物体运动的瞬时速度：

（1）求位移增量SS(tt)S(t)

(2)求平均速度

sv;t

（3）求极限

ss(tt)s(t)lim.limtx0tx0

2由导数的定义可得求导数的一般步骤：

（1）求函数的增量

yf(x0t)f(x0)

（2）求平均变化率

yx

（3）求极限

yf(x0)limx0x

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