2.3 抛物线（通用）名师教学设计2

2.3.1 抛物线及其标准方程

学习目标： 1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2．会求简单的抛物线的方程．

抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的_______的点的轨迹叫做抛物线. 即____________________.（注：__________________）

怎样求抛物线的方程？

l抛物线的标准方程：

图形

开口

标准方程

焦点坐标

准线方程

1

小试牛刀

例1.求下列抛物线的开口、焦点坐标和准线方程

方程

开口

焦点坐标

准线方程

y26x

y6x2

x4y20

x28y0

例2.（1）焦点为F(0,-2)的抛物线的标准方程是（

）

A. y28x

B. y28x

C. x28y

D. x28y

（2）准线方程为x1的抛物线的标准方程是（

）

4

A. y2x

B. x2y

C. y2x

D. x2y

（3）经过点(4,2)的抛物线的标准方程是（

）

A. y2x

B. x28y

C. y2x或x28y

D. y2x或x28y

一点反思：

2

例3.（1）设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（

）

A. 4

B.

6

C. 8

D. 12 （2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴，抛物线上的点P(m,2)到焦点的距离为4，则m的值为（

）

A. 4

B. -2

C. 4或-4

D. 12或-2

能力提升：

1.

若动圆与圆(x2)y1相外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程是____________________________. 2.

若位于y轴右侧的动点M到F（2,0）的距离比它到y轴的距离大2，则点M的轨迹方程是_________________________. 22

3

课后巩固

21．准线方程为y＝的抛物线的标准方程为(

) 382A．x＝y 382C．y＝－x 3282B．x＝－y

382D．y＝x

32．已知抛物线y－2 016x＝0，则它的焦点坐标是(

) A．(504，0) 1C.0， 8 06421，0B.

8 0641D.0，

5043．抛物线y＝12x上的点到焦点的距离的最小值为(

) 11A．3 B．6 C. D.

48244．一动圆的圆心在抛物线y＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆过定点(

) A．(4，0) C．(0，2) 22B．(2，0) D．(0，4) 5．抛物线y＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是________．

6．抛物线过原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________．

7．求满足下列条件的抛物线的标准方程．

(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；

(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．

8．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x＋(y＋3)＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

22

4

21．准线方程为y＝的抛物线的标准方程为(

) 38A．x＝y

328B．x＝－y

328C．y2＝－x

38D．y2＝x

32p解析：由准线方程为y＝，知抛物线焦点在y轴负半轴上，且32248＝，则p＝.故所求抛物线的标准方程为x2＝－y. 333答案：B 2．已知抛物线y－2 016x2＝0，则它的焦点坐标是(

) A．(504，0)

1C.0，8 064

1，0B.8 064

1D.0，504

解析：抛物线的标准方程为x2＝答案：C 11y，故其焦点为(0，)．

2 0168 0643．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为(

) A．3

B．6

C.11

D.

4824111y，因为2p＝，所以p＝.121224解析：将方程化为标准形式是x2＝1故到焦点的距离最小值为.

48答案：C 4．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆过定点(

) A．(4，0)

B．(2，0)

5

C．(0，2)

D．(0，4) 解析：由题意易知直线x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点．

答案：B 5．抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是焦点，|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则(

) A．x1，x2，x3成等差数列

B．x1，x3，x2成等差数列

C．y1，y2，y3成等差数列

D．y1，y3，y2成等差数列

pp解析：由抛物线的定义知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，

22p|CF|＝x3＋.

2因为|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，

ppp所以2x2＋2＝x1＋2＋x3＋2，即2x2＝x1＋x3.故x1，x2，x3成等差数列．故选A.

答案：A

二、填空题

6．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是________．

解析：由抛物线的定义知点A，B到准线的距离之和是5，则AB551的中点到准线的距离为，故AB中点的横坐标为x＝－＝2. 222答案：2 7．抛物线过原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点的

6

距离为5，则抛物线的标准方程是________．

p解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋＝5，所以p＝8，即2抛物线的标准方程是x2＝16y.

答案：x2＝16y

8．焦点为F的抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M在准线上的射影为N，若|MN|＝p，则|FN|＝________．

解析：由条件知|MF|＝|MN|＝p，MF⊥MN，在△MNF中，∠FMN＝90°，得|FN|＝2p.

答案：2p

三、解答题

9．求满足下列条件的抛物线的标准方程．

(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；

(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．

解：(1)当焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝－22px(p>0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p×(－3)，解得p＝.

34所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x.

3当焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)．

9把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p，解得p＝.

49所以所求抛物线的标准方程为x＝y.

22(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．

当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，

7

p则＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.

2p当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x＝－2py(p>0)，则－＝22－2，所以p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y. 10．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，

则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y. B级

能力提升

1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(

) A．y＝12x2

B．y＝12x2或y＝－36x2

C．y＝－36x2

11D．y＝x2或y＝－x2

1236解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－1，则4a1112点M到准线的距离为3＋＝6，解得a＝，抛物线方程为y＝x.4a12121当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－，点M到准线的距离为4a1113＋＝6，解得a＝－，抛物线方程为y＝－x2.

4a3636答案：D 2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝

8

4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________．

解析：由已知得抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知：动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，由点到直线的距离公式得：d＝|4－0＋6|所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小22＝2，4＋（－3）值是2.

9