3.3.4 两条平行直线间的距离10分钟试讲教案

第三章

直线与方程

3.3.4

两条平行直线间的距离

课堂3分钟：新疆十大杰出母亲阿尼帕·阿力马洪

今年69岁的新疆奇台县维吾尔族老人阿尼帕·阿力马洪和丈夫阿比包（去世）共养育了19个不同民族的孩子，其中10个孩子是他们收养的汉、回、维、哈4个民族的孤儿，加上塔塔尔族、乌孜别克族的女婿、儿媳，全家共由6个民族组成。阿尼帕夫妇以博大的慈母之心，创造了人间至真至纯的旷世奇爱。2009年2月28日，阿尼帕获得新疆首届十大杰出母亲称号。

教材分析

《两条平行直线间的距离》是人教A版数学必修二第三章最后一节的内容，求两条平行直线间的距离，可转化为求点到直线的距离。

点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容,它是解决点线、线线间的距离的基础,也是研究直线与圆的位置关系的主要工具。

点到直线的距离公式的推导方法很多,可探究的题材非常丰富.除了本节课可能探究到的方法外,还有应用三角函数、应用向量等方法,因此“课程标准”对本节教学内容的要求是:“探索并掌握点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学,能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法,学会利用数形结合思想,化归思想和分类方法,由浅入深,由特殊到一般地研究数学问题,培养学生的发散思维根据本节课的内容特点,学习方法为接受学习与发现学习相结合,学生的探究并不是漫无边际的探究,而是在教师引导之下的探究;教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程,使学生在教师和其他同学的帮助下,充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。

教学目标与核心素养

课程目标

学科素养

A.推导两条平行线间的距离公式；

B.会用距离公式解决实际问题. C.引导学生构思两条平行线间距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神。

1.数学抽象：两条平行线间距离公式的推导方案；

2.逻辑推理：推导两条平行线间的距离公式；

3.数学运算：求两条平行线间的距离；

4.直观想象：将两平行线间的距离转化为点到直线的距离；

5.数学建模：将两平行线间的距离转化为点到直线的距离，提高学生的转化能力。

重难点

1.教学重点：两平行直线间的距离公式的推导、应用；线线距与点线距的转化；

2.教学难点：

两平行直线间的距离的求法及灵活应用。

一、复习巩固

前面学习了已知某点P的坐标为(x0,y0),到直线l的方程是Ax+By+C=0,的距离。那两条平行直线间的距离是多少呢，这是本节研究的问题。

练习：

1.

点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离

2.

点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离

3.

点C（-2，3）到直线2x+y-10=0的距离

二、引入新课

定义：在一条直线上任取一点作另一条平行线的垂线，这点与垂足之间的线段长叫做平行线间的距离

结论1：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长

结论2：平行线间的距离处处相等。

三、提出问题

①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么? ②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？

③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：

①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x0=0,y0=0时，d=|C|AB22；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=|Ax0C|AB22；

(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=|By0C|AB22. 观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0)，d=? 学生应能得到猜想：d=|Ax0By0C|AB22. 启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理) 证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(C1,0). A|A(∴P′N=C1)C||CC1|A. (*) 2222ABAB∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上, ∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0. 代入(*)得|P′N|=|CAx0By0|AB22

即d=|Ax0By0C|AB22,. ②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=|C1C2|AB22. 证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=|Ax0By0C|AB22.

又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=|C1C2|AB22. 讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离

公式为d=|Ax0By0C|AB22. ②当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=|C1C2|AB22. 四．应用示例

例1

求点P0(-1，2)到下列直线的距离：

(1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 解:(1)根据点到直线的距离公式得d=|2(1)210|212210525. (2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|25-(-1)|=. 33点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式. 变式训练

求下列两条平行直线间的距离

(1)2x+3y-8=0

2x+3y+18=0 (2)3x+4y=10

3x+4y=0

五．达标检测

1．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0间的距离为(

) A．3 C．1

|－7－－【解析】

d＝32＋42【答案】

C 2．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．

＝1. B．2 1D.

2

【解析】

d＝|3－(－2)|＝5. 【答案】

5 3．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程. 【解】

∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，

根据两平行直线间的距离公式得解得b＝45或b＝－33. ∴所求直线方程为：5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0. |b－6|52＋－2＝3，

六．小结: 1.

平面内一点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0间的距离d=|Ax0By0C|AB22

2.

两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=|C1C2|AB22

七．作业:109页练习

八．板书设计：

两平行直线间的距离

1.

2.

3.

4.

复习回顾

引入新课

例题

练习

5.

小结

6.

作业