3.3.4 两条平行直线间的距离教学设计范文

《点到直线的距离、两条平行线间的距离》教学设计

一、教学内容及学情分析

１.本课时教学内容是《必修2》第三章第三单元的第三节《点到直线的距离》与第四节《两条平行线间的距离》．本课时针对“点到直线的距离与两条平行线间的距离”的教学，是从初中平面几何的定性作图，过渡到高中解析几何的定量计算。本节内容既是两点间的距离公式的继续，又作为后面直线与圆锥曲线的位置关系的进一步学习的基础，具有承上启下的重要作用。

2.学生在学习本课时内容之前，已经有相关的知识准备：两点间的距离公式、直线的倾斜角、斜率、直线方程的各种形式，直线间位置关系的判断的依据；并且经历了建立这些公式、解决这些问题的过程，积累了一定的用坐标法解决问题的经验与各种具体方法。

这一节课的任务是：给出已知点的坐标与已知直线的方程，求点到直线的距离，建立点到直线的距离的公式。从学生已有的知识与经验看，不难知道，可以把点到直线的距离问题转化为点到点的距离问题，从而完成任务。教学时利用几何画板的教学课件，直观体现几何问题坐标化的思想方法，提高课堂效率.必要时，对有关点、直线、线段长等进行代数表示，以启发学生的思考. 二、教学重、难点及解决办法

1.教学重点：点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式的建立及公式的灵活运用。

2.教学难点：选择恰当的方法解决点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式的探究。

教学时教师引领学生始终围绕“点到直线的距离”这个问题，自主学习，合作探究，通过“提出问题——探索解决——实践练习——拓展升华——总结转新”的学习活动，在教学过程中，采用多媒体演示、变式练习等激发学生学习的兴趣和求知欲望，建立严谨的学习态度，培养学生勇于质疑与善于反思的数学学习能力，发展学生的创新意识。

三、教学目标及分析

1.教学目标

[来源:Z_xx_k.Com]

（1）引导学生探究推导方法，理解并能应用点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式解决问题；

（２）引导学生体会数形结合、等价转化的数学思想方法，培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力；[来源:学.科.网]

（３）培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神.

2. 目标解析

（1）探索点到直线的距离公式就是找到合适的方法并且用这种方法得到点到直线的距离公式.

初步理解就是知道点到直线的距离公式是用已知点的坐标和直线方程一般式中的三个系数表示该点到直线的距离，记住公式并初步学会公式的使用.

（2）在推导和使用公式的过程中，可以让学生有机会进一步学习解析法，体会其定量分析几何问题的优越性. 四、教学过程设计

1．复习回顾，帮助学生回忆两点间的距离公式，并为情境导入问题作好铺垫．（计划时间：1分钟）[来源:Zxxk.Com]

问题：你还记得两点间的距离公式吗？

再练***面上两点A(1，3)，B(3，1)间的距离．

2.情境导入：由学生熟悉的三角形面积求解，导入本节课课题．（计划时间：3分钟）

问题：已知平面上三点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积需要解决什么问题？引导学生分析利用初中的三角形面积公式，此处可以让学生思考，引发认知冲突。让学生讨论回答怎样解决这个问题。由此，导入本节课课题：如何求点到直线的距离。

3.数形结合，分析任务，理清思路．（计划时间：2分钟）

yQlP0Ox

思考讨论：回忆点到直线的距离是怎样定义的？在此基础上利用两点距离公式怎样用坐标算出点到直线的距离？在这里引导学生讨论“你打算怎么办？”，引导学生把这个新问题转化成已经熟悉的问题，体会“化归”的数学思想方法。

4.探究讨论：：怎样求点到垂直于坐标轴的直线的距离？为进一步探究点到一般直线的距离做铺垫。（计划时间：3分钟）

通过点到与坐标轴垂直的直线的距离探究，使学生能够进一步对点到直线的距离理解，逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。在探究出总结出的特殊结论后并进行简单的练习。由于此类题较简单，可以让学生进行口答。

[来源:学§科§网]

yy=y1P0(x0,y0)Ox=x1x

（１）点P0(x0,y0)到直线xx1的距离？

（２）点P0(x0,y0)到直线yy1的距离？

练习一下：求点P(1,2)到下列直线的距离. (1)直线 l：3x=2；

(2)直线 m：y=－1。

5．深入探究求点到直线距离的方法，引导学生思考讨论，选择更好的方法得到点到直线的距离公式。

问题：怎样求点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A≠0且B≠0)的距离？

yl:Ax+By+C=0P0(x0,y0)Ox

（1）思路一

：你是否想到以下方法？试一试通过下面方法计算出所需要的点到直线的距离．（计划时间：3分钟）

先过点P0作直线l的垂线，垂足为Q，则|P0Q|就是点P0到直线l的距离d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|P0Q|. 根据学生情况，教学时可以给予以下引导：

①思路一中的难点在于求交点坐标，以及两点之间的距离，计算量颇大，在此可以通过课件的方式呈现思路一的推导过程，并把此推导过程作为学生课后探究作业．

②借鉴两点间距离公式的推导，结合点到垂直于坐标轴的直线的距离较易求解的特点(强调这一点)，有没有同学能将思路一的方法进行改进，使得方法简单些？

在探究解决这一问题的方法时，把学生引导到教材所采用的方法上：借助直角三角形，采用面积法求解的推导方法，即思路二．另外，此处也可以让学生知道，点到直线的距离的推导方法还有很多，可以让感兴趣的学生做为课后探究内容来深入学习。

（2）思路二：借助直角三角形，采用面积法完成推导点到直线的距离的过程。（计划时间：4分钟）

在此引导学生理清推导思路，并利用课件呈现点到直线的距离公式推导过程。

6．引导学生对点到直线的距离公式的分析，帮助学生准确记忆公式（计划时间：3分钟）

思考讨论：怎样利用点P0(x0,y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离公式d让学生对以下问题进行思考：

(１)公式应用时，直线方程需要化成一般式吗？

(２)公式对Ａ＝０，或Ｂ＝０仍然成立吗？

(３)此公式适用于P0(x0,y0)为平面上任意一点吗？

７.针对性练习，运用公式进行简单的应用练习，熟悉公式．（计划时间：10分钟）

练习一、二较为简单，是公式的直接运用，在此可采用学生板演，集体评价；或者同桌检查，相互评价的方式。可以让学生先作为练习，然后由学生或教师再进行讲评。

(１)练习一：P0(－1,2)到下列直线的距离

① 5y=3

② 2x＋y=10

③ y=３x+５

(２)练习二：若点P(3,m)到直线x3y40的距离为1，求实数m＝?. (３)例题６：

已知平面上三点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积。

在运用点到直线距离公式时，教师要重点强调公式的规范应用：强调先将直线方程化为一般式后，再将点的坐标带入到直线方程进行计算，并指出，当直线垂直于坐标轴时，可直接采用图解法|Ax0By0C|A2B2？[来源:Z*xx*k.Com]

观察. ８. 应用拓展，知识外化，能力提升。（计划时间：5分钟）

本单元第四小节教学内容较少，若教学进程进展比较顺利，时间来得及，可以提出以下思考题，把两条平行线之间的距离问题也处理掉。

(1) 探究:求两条平行直线l1：3x+4y－8=0与l2：3x+4y+2=0间的距离

设置意图：①引导学生将两条平行直线间的距离转化为点到直线间的距离；②进一步引导探究两条平行直线之间的距离公式的推导。

（2）能否推导出两条平行直线l1：A1xB1yC10与l1：A2xB2yC20间的距离公式？

９．针对性练习，运用公式进行简单的应用练习，熟悉公式．（计划时间：5分钟）

练习较为简单，是公式的直接运用，在此可采用学生板演，集体评价；或者同桌检查，相互评价的方式。提醒学生利用公式时注意公式的前提条件：

①直线方程均需化成一般式方程；②两条直线方程中的x、y系数必须分别相等. 练习一：求直线两条平行直线l1：3x+4y－5＝0与l1：6x+8y－9＝0间距离。

练习二：求与直线l：5x－12y+6=0平行且到l的距离为2的直线的方程. １０．拓展提高，能力提升．（计划时间：5分钟）

教材所提供的内容足以满足一堂课的需求，为了满足不同层次学生可能的需要，提供一道补充例题：求过点A(1,0),且与点M(2,3)和点N(-2,1)距离相等的直线l的方程。若教学时间充裕，可以利用本题对学生的思维能力进行拔高。

此例题为点到直线的距离的思维拔高，引导学生思考时，学生最易想到的是待定系数法解题，此时要通过课件演示的方式，提醒学生待定直线斜率时要考虑全面，规范解题。而对于数形结合法解题的讲解，需要通过课件的动画演示的方式，让学生观察猜想，得到最终的解题思路，此时要充分利用好课件的直观演示作用。

1１.课堂小结（计划时间：1分钟）

本节课解决了点到直线距离问题，建立了点到直线的距离公式．在推导过程中，我们通过构造直角三角形将求两点间的距离转化为了求平行于坐标轴的线段的长度，这降低了运算难度.而在两条平行直线的距离研究中，我们也将两条平行线直线的距离也转化为了点到直线的距离，这种降维思想方法今后还要多次运用。

1２. 自习课作业：

针对本课时教学内容，为了达到拓展、巩固学生基础知识与基础能力，特别选择以下课后作业。

其中全员必做题是需要所有学生必做的，主要针对本节课点到直线的距离公式及两平行线间的距离，通过必做题，使学生能达到掌握并能熟练应用相关公式与方法解决点到直线的距离与两平行直线间的距离问题。重点选做题主要针对基础较好、能力较高的学生，满足他们进一步学习、探究的需要。

全员必做题：

课后练习；（2）习题Ａ组：第７、8、9、10；

重点选做题：

习题Ｂ组：第２、４、５、６

五、板书设计

由于本课采用多媒体课件教学，所以板书较少，课堂效率较高。但课件的缺点是重要内容不便于随时回顾，也不便于学生在课件上板演练习步骤。因此关键内容的板书及学生的练习题的板演还是需要的，板书特别设计如下：

一、点到直线的距离

１．点到垂直于x轴的直线的距离

…………. ２．点到垂直于y轴的直线的距离

…………

３．点到一般直线的距离

……….

二、两条平行直线的距离

１.

方法一：转化为点到直线的距离

………….. ２.

方法二：两条平行直线的距离公式

………….

学生练习题板演区

六、教学反思

在进行本节内容的教学设计之前，本人反复阅读了课程标准和教材，针对教材的内容，编排了一系列问题，让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来，并通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决。学生在讨论解决问题的过程中，由于课堂时间有限，学生讨论的方法在课堂上不能一一实现，根据学生的认知水平，思路一学生很容易想到，所以从思路一入手进行公式推导。而这节课的关键是如何引导学生自然地想到思路二——构造Rt△，从而推出公式。对于这个问题，若不说明原因而直接作辅助线，

将无法展现为什么会想到要构造Rt△这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。

因此，我采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的Rt△。 让学生真正地参与进来，激发学习兴趣。

对于练习的处理，让学生通过个人、小组、集体等多种尝试活动，感受“观察——归纳——概括——应用”等环节，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到了设计中所预想的目标。 在传授基础知识的同时，有意识地、恰当在讲解与渗透基本数学思想和方法（本节课主要运用了数形结合的思想，转化的思想，分类讨论的思想以及待定系数法）帮助学生掌握科学的方法，从而达到传授知识，培养能力的目的

。

然而本节课还有一些缺憾：对本节内容，难度不高，本人认为，教师的干预（讲解）还是太多。在以后的教学中，对于一些较简单的内容，应放手让学生多一些探究与合作。随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素，都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，用全新的理论来武装自己，让自己的课堂更有效。

总而言之，本设计力求以启迪思维为核心，充分运用已学过的知识，引导学生学会利用转化思想，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，不仅探索出公式的表达式，还使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，从而培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。