习题4.1特级教师教学实录

教学案设计

圆的一般方程

单位：夏官营高中

姓名：马丽伟

任教学科：数学

圆的一般方程

教学目标：

1、教学知识点：圆的一般方程

2、能力训练要求

（1）掌握圆的一般方程及其特点．

（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．

（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．

（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．

3、德育渗透目标

（1）渗透数形结合思想 （2）提高学生的思维素质和解题能力

教学重点及难点

教学重点:(1)用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．

(2)用待定系数法求圆的方程．

教学难点：圆的一般方程特点的研究．

教学方法：启发式教学法、讨论法，从而使学生自己发现规律.

二、

教学方法：

根据本节课的内容和学生的实际水平，采用引导发现法和直观演示法相结合及形数结合的教学方法。在教学中，启发、诱导贯穿于始终，调动学生积极性，发挥学生主体作用，利用电教媒体，使学生在获得感性知识的同时，为掌握理性知识创设条件。

采用动画演示手段，将椭圆的生成过程表示出来，变抽象为具体，变复杂为简单，同时还可以激发学生的学习兴趣。用字幕把概念和例题显示出来拓宽课堂的时间和空间，增大课容量。

教学设想：

教学过程：

【课题导入】（大约5分钟）

上节课我们已经学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下：

〔学生〕以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2

〔教师〕圆的标准方程的特点是很直观地能求出圆心坐标和半径.那么我们如果将它展开来又会怎样呢？（请学生上黑板去做）

〔学生〕展开式为x2y22ax2bya2b2r20

〔教师〕由于a,b,r都为常数，不妨设2aD,2bE,a2b2r2F那么它又可以化成下面的形式：x2y2DxEyF0 ………………①

那么，是不是形如①式的方程表示的曲线也是圆呢？

【新课讲解】（大约10分钟）

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？谁愿意上来运用配方法做做，

〔学生〕配方后整理得D2E2D2E24F ………………②

(x)(y)224〔教师〕显然方程②是不是圆的方程与D2E24F是什么样的数密切相关.具体如4下：教师打开事先准备的第一张幻灯片

对方程: x2y2DxEyF0配方后得:D2E2D2E24F

(x)(y)224（1）当D2E24F0时，方程②表示以(D,E)为圆心、以1222D2E24F为半径的圆；

（2）当D2E24F0时，方程②表示一个点DE；

(,)22（3）当D2E24F0时，方程②不表示任何图形．

〔教师〕总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．教师打开事先准备的第二张幻灯片: 圆的一般方程的定义：

当D2E24F0时，方程①表示以(D,E)为圆心、以1为半径的圆. D2E24F222此时方程①称作圆的一般方程．

即称形如x2y2DxEyF0 (D2E24F0)的方程为圆的一般方程．圆的一般方程与标准方程比较，它们各有千秋：

第一、圆的标准方程带有明显的几何的影子，优点在于圆心和半径一目了然．

第二、圆的一般方程表现出明显的代数形式与结构，更适合方程理论的运用．

条件：（1）x2和y2的系数相同，且都不为0．

（2）没有xy这样的二次项．

注意：以上两点是二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件.（想一想：再加上什么条件就可表示圆的充要条件了呢？）

下面举一些例题来加以分析（大约10分钟）

例1：求过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)圆的方程，并求出圆心坐标和半径．

分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解．(先让学生自已讨论,然后教师打开第三张课件出示本题答案)

解：设圆的方程为x2y2DxEyF0

因为O、M、N三点在圆上，则有 解得:DF0DEF204D2EF2008,E6,F0

所求圆的方程为x2y28x6y0

所以半径为r,圆心坐标为(4,-3). 1D2E24F52

题后反思：请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别．

小结:通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求圆的方程多用待定系数法．步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程．

（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程．一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程．

下面再看一个问题：

例2：已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为1的点的轨迹,求此曲线的2方程,并画出曲线. 分析:在求出曲线方程之前,很难确定曲线类型,所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出.(教师先让学生回顾以前学过的求曲线轨迹的步骤,再讨论本题的解法,最后出示课件四) 解:在给定的坐标系里,设点M(x,y)是曲线上的任意一点,也就是点M属于集合|OM|1 由两点间的距离公式,点M所适合的条件可以表示为x2y21 PM|.|AM|2(x3)2y22两边平方得x2y21

整理得x2y22x30,这就是所求曲线的方程.把该方程左边(x3)2y24配方,得(x1)2y24,所以此曲线是以C(1,0)为圆心,2为半径的圆,它的图形如

下图所示: y M

C O A x

设计意图：我在新知识点讲解时采用了启发式、师生互动的教学，其目的是让学生更能深入的理解圆的一般方程与标准方程的关系及与为下节课圆的参数方程的进一步学习奠定基础；在例题教学时没有采用新的例题，仅讲解了课本上的两个例题，其目的是教师少讲，为了节约更多的时间让学生能自己练习，充分发挥学生的主动性作用，当然在下面的练习题中我准备了三道课外例题用来拓展课堂知识. 【课堂练***约18分钟）

1.课本练习第79页1，2 请学生回答

(用课件五出示下面的习题) 2.求过两点P(5,-3),Q(0,6),并且圆心在直线l:2x3y60上的圆方程. 3.(2004重庆)圆x2y22x4y30的圆心到直线xy1的距离为( ) A.2 B.2 C.1 D. 2 24.(2004全国) 圆x2y24x0在点P(1, 3)处的切线方程是( ) A. x3y20 B.x3y40 C.x3y40 D. x3y20 （教学设计：以上三题先让学生做，然而出示学生的答案在大屏幕上，让学生自己修改，最后后出示标准答案供学生参考）

【课堂小结】师生共同总结：(约2分钟) (答案: ) 64xy38xy920322

（1）圆的一般方程及其特点．

（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径．

（3）用待定系数法求圆的方程.在解题过程中应根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活的选取恰当的方程,以便快捷解决相关问题. 巩固作业：课本习题5（2），6（2），7，8．

板书设计

§7.6圆的方程（2）—

圆的一般方程

一.圆的一般方程: x2y2DxEyF0

当D2E24F0时，表示以DE为圆心、以1D2E24F为半径的圆. (,)222二.例题讲解

例1 例2 课时小结

教学反思

首先,这节课是圆的方程的第2个课时——圆的一般方程,(共分3个课时) 主要是要让学生掌握圆的一般方程及其特点、圆的一般方程与圆的标准方程的互化，从而求出圆心和半径．以及能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程，在圆的一般方程与标准方程互化过程中要用到以前学过的配方法、所以在教学中我先让学生自己动手，通过他们的切身体验，来完成这一过程从而得到圆心坐标和半径，这样不仅调动了学生的学习积极性,激发学生自主探究,而且有效地帮助学生自主建构数学知识,使学生对新知识的理解进一步加深.在此基础上再让学生观察圆的一般方程与二元二次方程的异同点从而找到二元二次方程表示圆的必要条件甚至充要条件. 其次,例题教学的设计,主要让学生掌握用待定系数法求圆的方程和进一步加深求曲线方程的基本步骤和方法,例题安排不多且简单，其目的:一是接受起来比较容易;二是教师少讲,为节约更多的时间让学生自己练习，充分发挥学生主动性作用，当然在后面的练习题中我准备了三道课外例题用来拓展课堂知识.课堂练习，是对本节课目标落实情况的检测，让学生明确本节课应达到什么样的目标。

总之,这节课我采用多媒体教学和传统粉笔教学相结合,觉得在学生动手，双基落实方面还不错，学生的活动也比较充分，教师仅是及时的引导和点评，让学生的主体性得到了较为充分的体现。另外，在教学中不断的渗透数学思想和方法，让学生思维得到提升。当然也有不足：比如对学情分析有所不足，例题的教学分析对差生来说有些仓促，对优等生来说过于简单，有太过多的依赖多媒体教学等.

教学说明

一、教学准备：

教学用具：

第一张：课本P106例3（记作§8.3.2 A

第二张：本课时教案的例4、例5（或上节课后的思考题）（记作§8.3.2 B

第三张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作§8.3.2 C

教材分析：高

考

资

源

网w w w.k s 5 u.c o m 1、知识结构

曲线的方程 圆的一般方程

圆的标准方程 圆方程的应用

求曲线方程 圆的参数方程

2、地位、作用及教法建议

（1）圆是最简单的曲线，也是学生比较熟悉的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学***圆锥曲线之前，目的在于熟悉曲线和方程的理论，为后继学

习做好准备．同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法．

（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法、数形结合法等思想方法，教学中应多总结．

（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识．

（4）有关圆的内容非常丰富，比如直线和圆、圆与圆的关系、还有圆系方程等问题．都值得拿来研究. 学生分析：

二、个方面内容的设计理由：

三、各个环节的设计理由：

四、教法学法：(一)知识教学点

使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．

(二)能力训练点

通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．

(三)学科渗透点

圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

教法选择的原因所要教给学生的学习方法：

五、教学效果分析：