习题3.1公开课教学设计模版

§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

【教学目标】

1.

理解并掌握两直线平行与垂直的条件，能运用条件判断两直线是否平行或垂直。

2.

通过对两直线平行或垂直的条件的探究推导，培养学生运用旧知识探讨新知识，学会数形结合的思想。

【教学重难点】

1.

教学重点：两直线平行或垂直的条件，掌握并熟练运用。

2.

教学难点：把两直线平行或垂直的问题转化为两直线之间斜率的问题，注意运用时所需满足的斜率存在的条件。

【教学过程】

（一）

知识回顾

同学们好，在学习今天的新内容之前，我们先来回顾一下上次课学习的内容。

提问：有哪位同学来给大家回忆一下上次课的内容？

将倾斜角，斜率的有关知识简单写在黑板上，并提醒倾斜角的范围是0≤α＜180º,当倾斜角等于90°时，斜率不存在。

（二）

引入

初中的时候我们判断两直线平行，是看它们有没有交点，后来

又学***行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补等。两直线垂直夹角为90°，在这里我们看到两直线平行垂直可以用角度关系来判断，我们上次课学习了斜率可以用倾斜角的正切值来表示。那么我们可不可以用斜率来表示两直线平行或垂直的关系呢？这就是我们今天要学***行与垂直的判定，请同学们先思考一下，不妨大胆假设它们的斜率之间存在怎样的关系。

（三）

探究新知

1.两直线平行的判定

在黑板上坐标系中画出两条互相平行的直线

从这个图我们可以看到，这两条平行线是不重合的，并且它们的倾斜角都不等于90°，所以他们的斜率都是存在的。

我们都知道两直线平行，同位角相等，也就是它们的倾斜角是相等的，既然倾斜角相等，它们的正切值是相等的，也就是说它们的斜率是相等的。所以我们由两直线平行堆到了它们的斜图1 Y

l1l2

12

O

X

率相等，那么斜率相等能不能得到它们平行呢？我们来看一下，由k1=k2 我们知道tan1tan2，因为1和2的取值范围都是0°到180°，所以我们能得到1,2相等，也就得到了 l1 平行l2 。 通过上面的推导证明，我们可以知道这个结论反之也是成立的，即有两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行。则可以得到两直线平行的判定：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有

l1∥l2k1=k2

上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.如果是对于两条直线式重合的直线，那么他们的倾斜角必然是相等的。所以在两条可能重合的直线的斜率相等的情况下，我们可能得到两条直线平行，也可能得到两条直线重合。对于这两条直线，如果有一条直线的斜率不存在，即倾斜角为90°.则另一条直线的倾斜角也应该为90°.即另一条直线的斜率也不存在。既有若两条直线的斜率都不存在时，有l1l2。

3.

两直线垂直的判定

现在我们来看一下两直线垂直的判定，和平行一样，我们也通过斜率来判定，大家先看一下这两条垂直的直线。

当两条直线垂直时，

如果l1l2，这时12.并且它们的

斜率都是存在的。

由三角形任一外角等于其不相邻两

Y l2

l1

1

2

O 图2 X

内角之和，即29001，

由于l1、l2的斜率分别为k1、k2，

且2900，

由tan2tan(9001)1/tan1，

得k1k21

。

反之，如果我们知道k1k21，即tan1tan21,sin1sin21,cos1cos2得到sin1sin2cos1cos20.因为12的范围都是0到90通过上述解答，我们可以知道，两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直。我们就可以得到两直线垂直的判定：

如果两条直线都有斜率，且他们互相垂直，那么他们的斜率之积等于-1；反之，如果他们的斜率之积是-1，那么他们互相垂直。即

l1l2k1k21.

上面的等价也是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立

这里我们讨论斜率都存在的情况，那么当两条直线中有一条直线没有斜率，则它的倾斜角为90°，对于两直线垂直，那么另一条直线的倾斜角为0°，即它的斜率为0。

【巩固练习】

现在我们来做一个课堂练习，运用一下这两个定理。

求过点（1,2）且与直线3x+y+1=0平行和垂直的直线l1和l2。

分析：要求与该直线平行和垂直的直线，首先我们要求该直线的斜率，由斜率相等，两直线平行，斜率之积等于-1，两直线垂直。我们能够

得到l1和l2的斜率，又知道两直线过点（1,2），就能求出l1和l2。

解：直线3x+y+1=0的斜率为k=-3. 由两直线平行，斜率相等，k1=-3. 所以l1：y-2=-3（x-1）即 3x+y-5=0. 由两直线垂直，斜率之积为-1，k2=13。

所以l2：y-2=13（x-1）即x-3y-5=0. 【课堂小结】

1．两直线平行与垂直的判定

2．注意运用时候必须满足的条件是斜率都存在

【课后作业】

1.

课后练习题1,2 2.习题3.1 ，3,4,5题

板书设计

第一版

一．

知识回顾

1．

倾斜角 0°﹤180°

2．

斜率 K=tan ≠90°

K=y1y2xx

x1x2

12二．

两直线平行的判定

l1//l2

且1，2≠90°

l1，l2

不重合

∴

12

从而tan1=tan2即k1k2

反之k1k2



l1//l2 Y

l1l2

12O

X

第二版

两直线平行的判定：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有k1k2

 l1//l2 注：1.当两直线可能重时

k1k2l1

∥l2

或l1

与l2

重合

2.当l1

与l2

斜率都不存在时，l1

∥l2 . 三．两直线垂直的判定

l1⊥l2

， 由图得 2190 tan2tan(901)1

tan1Y l2

l1

所以

k1k21

反之由k1k21  l1⊥l2 两直线垂直的判定：

1

2

O 图2 X 如果两直线都有斜率，k1k21

 l1⊥l2 第四版

注：当

l1的斜率不存在，且

l2的斜率为零时， l1⊥l2 。

三．

例题

求过点（1,2）且与直线3x+y+1=0平行和垂直的直线l1和l2。

解：直线3x+y+1=0的斜率为k=-3. 由两直线平行，斜率相等，k1=-3.

所以l1：y-2=-3（x-1）即 3x+y-5=0. 由两直线垂直，斜率之积为-1，k2=13。

 l2：y-2=13（x-1）即x-3y-5=0.