复习参考题教学设计和教学实录

教学基本信息

课题

最值状态下的直线方程

否

学段：

必修二第三章

年级

高三

是否属于

地方课程或校本课程

学科

相关

领域

教材

教学目标(内容框架) 数学

解析几何

书名：数学必修二

出版社：人民教育出版社

出版日期：

2007年

1 月

知识与技能：

学生通过根据题目条件求对应直线方程，掌握直线方程的求法及最值的求法，并能应用这些方法解决类似的相关问题. 过程与方法：

从原点到直线的距离问题入手，研究面积与截距和的最值问题，学生从中体会数形结合的思想. 情感态度与价值观：

通过问题讨论和探究学习，体验从不同角度去“分析”最值问题，激发学生学习数学的兴趣，培养学生团结协作的精神.

教学重点：直线方程的求法及与直线相关的最值问题的探求过程. 教学难点：最值状态下直线方程的求法.

教学过程(文字描述) 一、问题提出

师：出示幻灯片，提出问题1）直线的五种形式及方程分别是什么？

生：学生回答问题.预设答案：

名称

点斜式

斜截式

两点式

方程

yy0k(xx0)

ykxb

yy1xx1

y2y1x2x1xy1

ab截距式

一般式

AxByC0

师：很好，这五种形式有各自的适用范围，请同学们在应用的过程中加以区分. 师：出示幻灯片，提出问题2）高中数学学习中有哪些求最值的方法？

生：学生回答问题.预设答案：函数的图象与性质、导数法、三角函数的有界性、基本不等式法……

师：导入本节课要研究的最值状态下的直线方程问题.

1

环节设计意图：复习回顾，为接下来解决最值问题，求直线方程做准备.

二、问题探究

问题1 已知点P(2,1)，求过点P且与原点距离最大的直线l的方程.

生：分组讨论，

预设思路：1）设出直线的点斜式方程，从代数的角度列出距离表达式，求其最值.

2）在直角坐标系中画出直线方程，考虑从几何角度求距离OD的最值.

师：肯定学生能够考虑从代数几何两个角度进行讨论，探究问题的解法.指出本题采用几何方法较为简便，借助几何画板演示距离OD的变化过程，确定OD取到最小值时直线的位置. 解：作图可知过点P与原点O的距离最大的直线是

过点P且与直线OP垂直的直线，

由lOP，得klkOP1，所以kl4f(x) = k∙(x

2) + 1DP(2,1)321O124612，

kOP2由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.

环节设计意图：通过学生分组探究确定OD距离最小时直线的位置关系，体会数形结合的思想在解题过程中的应用.

543问题2直线l过点P(2,1)，且分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，

6（1）当OAB面积最小时，求直线l的方程. 7

师：方法一

解：设所求直线方程为y1k(x2)(k0)，

……设

8则A(21,0)，B(0,12k)，所以三角形面积为

k2

SOAB1111……列

|OA||OB|(2)(12k)22k

22k2kk0,2k0,(2k)(102k11)2()(2k)2,SOAB42k2k

……求

当且仅当112k，即k时等号成立，

2k21(x2)，即x2y40. ……答

2所以直线方程为y1方法二

解：设所求直线方程为xy1(a0,b0)，则A(a,0)，B(0,b)，

……设

ab211，

ab由点P(2,1)在直线上，得2121211，即ab8.

……列

因为(ab)2，所以ab4ab24当且仅当21，即a4,b2时等号成立，

ab11ab84，

……求

22因此，面积SOAB此时，直线方程为xy1，即x2y40. ……答

42环节设计意图：通过学生经历借助基本不等式求面积最小值时对应直线方程的过程，感受代数方法也是求最值的常用方法，同时，在一题多解的过程中，发散学生的思维，提高学生的学习兴趣.

（2）当直线l在x轴，y轴上截距和最小时，求直线l的方程.

生：思考，分组讨论

预设思路：学生设出直线的点斜式方程，根据A，B两点的坐标表示截距和，然后求其最值.

3

师：对学生的完成情况进行评价，指出可以通过点斜式与截距式两种形式来设直线方程，并规范两种方法的步骤.

方法一

解：设所求直线方程为y1k(x2)(k0)，

……设

则A(21,0)，B(0,12k)，所以截距和为

k1112k32k

……列

kk|OA||OB|2113()(2k)32()(2k)322

……求

kk当且仅当12时，2k，即k“=”成立，

k2所以直线方程为y1方法二

解：设所求直线方程为2(x2)，即x2y220. ……答

2xy1(a0,b0)，则A(a,0)，B(0,b)，

……设

ab211，

ab2a1)，

……列

b由点P(2,1)在直线上，得因为ab(ab)1(ab)(32ba2ba32322

……求

abab当且仅当2ba，即a22,b21时等号成立，

abx22y211，即x2y220. ……答

此时，直线方程为环节设计意图：学生通过独立解决此思维训练题，巩固并检验自己用代数法求解最值问题的掌握程度.

（3）当|PA||PB|最小时，求直线l的方程. 生：结合问题2的（1）（2），思考它们的区别与联系，并尝试求解.

三、课堂小结

4

通过这节课的学习你有哪些收获？

引导学生从知识与方法上进行概括与归纳. 1、

一种求最值的方法

——基本不等式法；

2、

一种求直线方程的方法

——待定系数法；

3、两种研究数学问题的方法

——几何法、代数法；

4、两种数学思想方法

——数形结合、转化.

四、课后作业

必做：1．将问题2（2）整理到作业本上；

2．直线l过点P(2,1)，且分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，当|PA||PB|最小时，求直线l的方程.

选做：（2014四川，9，5分）设mR,过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x,y)，则|PA||PB|的取值范围是（

）

A.[5,25]

B.[10,25]

C.[10,45]

D.[25,45]

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