3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学目标

《3.1.1直线的倾斜角与斜率》教学设计

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主讲：叶妙娟

【教材分析】

直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。

本节课的重点是直线的斜率。直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程,还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用。因此正确理解斜率概念,熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。

在义务教育阶段，学生学习过函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对（x,y）表示，但没有系统接受过解析几何研究问题的思想方法。因此有必要简要介绍从本章起研究什么？怎样研究？

体现了数学的文化价值。接着建立直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，实现了直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式,充分体现了解析几何的思想方法。

本节课注重信息技术与数学课程的整合。不仅增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣，而且增加教学容量，提高课堂效率。在倡导积极、勇于探索的学习方式上采用启发引导法，讨论法。设计为启发、引导、探究、评价的教学模式。学生在积极思维的基础上,进行充分的讨论、争辩、交流和评价。教师的任务是创设问题情景,引发争论,组织交流,参与评价。

【教学目标】



在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；



理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式; 

在形成概念的过程中,培养学生分析、抽象、归纳的思维能力，强化“形”、“数”结合相互转化的思想方法，完善学生的数学知识结构; 

通过创设问题情景、渗透数学文化和多媒体教学，激发学生的学习兴趣和求知欲望。

【教学重点与难点】

重点：斜率的概念,用代数方法刻画直线斜率的过程,过两点的直线斜率的计算公式; 难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。

【教学方法】启发引导法,讨论法

【教学手段】运用计算机、投影仪等多媒体技术

【教学基本流程】

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介绍数学文化——解析几何



结合图形探索确定直线位置的几何要素



借助信息技术研究直线的倾斜角



由坡度引出直线的斜率定义



借助信息技术推导过两点的斜率公式



探索直线的倾斜角与斜率的关系



例题讲解



练习、小结与作业

【教学过程】

一、

结合实例介绍数学文化——解析几何（知识纲要）



解析几何的研究方法

在立体几何中，所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形中点、直线、平面的关系研究图形的性质。

在解析几何中，采用坐标法。坐标法是以坐标系为桥梁,把几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,是研究解析几何中最基本的研究方法。

可以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科。

由于代数方法的主要特点是“算”，当几何问题代数化之后，可以用计算机处理代数问题，通过代数问题的处理研究几何图形的性质，从而实现机器证明。我国数学家吴文俊在这方面有突出的贡献。

．．．平面解析几何:直线、圆、椭圆、抛物性、双曲线

解析几何的分类

立体解析几何:平面、直线、柱面、锥面、旋转曲面

解析几何的应用

椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。

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

平面解析几何主要研究两类问题：

(1)

满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；

(2)

通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。



解析几何的产生及其影响

17世纪，法国数学家笛卡儿和费马创立了解析几何。其产生并不是偶然的。

课后阅读：笛卡儿与解析几何（P117）

http：//www.ikepu.com/maths/maths_branch/maths_branch_index.htm http：//www.Syinfo.gov.cn/peopl/moument/scie_mmt23.htm 解析几何的产生对数学发展，特别是对微积分的出现起了促进作用。恩格斯曾给予高度评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，……”

〖设计意图〗通过数学文化的学习，使学生认识到解析几何的产生和发展的必要性，发展勇于探索的精神，激发学习的兴趣和求知欲,体现了数学的文化价值。

〖过渡〗这节课我们用坐标法研究最简单的几何对象——直线，学习直线的倾斜角与斜率。

二、新课

〖设问〗对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？

〖师生活动〗生：两点确定一条直线。

〖设问〗一点能确定一条直线的位置吗？已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？

〖动态演示〗用《几何画板》演示过点P的直线束的形成过程

〖师生活动〗引导学生观察：过一点P可以作无数条直线（组成一个直线束）。

〖设问〗这些直线区别在哪里呢？

〖师生活动〗引导学生观察发现：这些直线的共同点就是都经过点P，不同点是它们的倾斜程度不同。

〖设问〗怎样描述直线的倾斜程度呢？——要确定直线束中某一条直线还需要给出一个角。

〖设问〗在平面直角坐标系中，过点P的任何直线l，对x轴的相应位置有哪些情形？

〖师生活动〗再次引导学生观察直线束的形成过程，可以发现直线与x轴的相应位置：平行或相交，由此可以猜想用直线与x轴的夹角来描述倾斜程度,从而给出倾斜角的定义。

1.

倾斜角的定义

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间．．．．．．．．．．．．．．l．．．．．

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y 所成的角叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）。 l

0当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。

．．．．．

〖动态演示〗直线的倾斜角的形成过程。

x 〖设计意图〗逐步深化，自然给出直线倾斜角的概念；体会数形结合的数学思想。

〖设问〗直线的倾斜角能不能是0？锐角？直角？钝角？平角？能否大于平角？

〖动态演示〗用《几何画板》演示随着直线倾斜程度的变化, 倾斜角的变化情况

〖师生活动〗引导学生观察，归纳总结出倾斜角的取值范围。

01802.

倾斜角的取值范围：

．．．．．．．．〖讨论〗

(1)

倾斜程度不同的直线其倾斜角有何关系?倾斜程度相同的直线其倾斜角又如何呢? (2)

反之,倾斜角相同的直线其位置关系怎样呢？——一组平行线，从而得到只知道直线的倾斜角不能确定一条直线。

(3)

如果已知直线上一个点及其倾斜角，直线的位置能否确定呢？

——可以。即直线上的一点和直线的倾斜角唯一确定一条直线。

〖设计意图〗使学生自觉感受直线的倾斜角的范围是0180，这样做，使学生感受数学是自然的，并不是强加于我们的；另一方面也使学生感受平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；反之，直线的倾斜角相同,其倾斜程度相同，但直线的具体位置没办法确定。从而归纳出确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素。

3. 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上一个定点以及它的倾斜．．．．角，二者缺一不可。

．〖设问〗日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？请举例。

〖师生活动〗引导学生讨论，在日常生活中，经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即坡度比32为坡度（比）。

22升高量

前进量例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因前进

升高

〖设计意图〗让学生感受生活中数学无处不在，数学来源于生活,激发学习积极性。

〖师生活动〗引导学生把倾斜面放到直角坐标系中，分析“坡度”与“倾斜角”之间的联系，从而引入斜率的定义。

4. 斜率的定义：

把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope）。斜率常用小写

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字母k表示，即ktan。

〖设问〗倾斜角是90的直线有斜率吗？

〖师生活动〗引导学生分析：90的正切值不存在，进而得到斜率的完整概念：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即ktan(90)。

〖设问〗直线的倾斜角与其斜率有什么关系？

〖师生活动〗分组讨论，选代表发言,得出结论——倾斜角是90的直线的斜率不存在，而且，倾斜角相同的直线，其斜率相同；倾斜角不同的直线，其斜率不同；当90时，倾斜角与斜率存在一一对应关系。因此，可以用斜率刻画直线的倾斜程度。

〖设问〗斜率为正或为负时，直线具有怎样的位置？

〖动画演示〗用《几何画板》演示直线的倾斜角与斜率之间的变化关系。

〖师生活动〗让学生亲自操作, 如图,拖动点P,改变直线的倾斜角,观察其斜率的改变。通过信息技术工具演示，让学生自己获得直线的倾斜角与斜率k的关系：

当0时，直线的斜率是等于0；

当090，即是锐角时，斜率是正数,且随着倾斜角的增大,斜率逐渐增大；

当90,即是直角时,直线的斜率不存在; 当90180，即是钝角时，斜率是负数, 且随着倾斜角的增大,斜率逐渐增大。

〖设计意图〗有利于培养学生的自主探究的能力,也体现了数学教学与信息技术的结合。

〖练习〗

1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：

（1）0;（2）30;（3）45;（4）135;

（参考公式：当是锐角时，tan(180)tan.）

2.

已知直线的斜率,求直线的倾斜角：

（1）k=1;

（2）k3;

（3）k3.

3〖师生活动〗学生口答

〖设计意图〗及时巩固

〖过渡〗如果给定直线的倾斜角可以根据斜率的定义求出直线的斜率。

〖设问〗如果给定直线上两点的坐标,怎样求出直线的斜率呢? 即：已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,求直线P1P2的斜率k。

〖师生活动〗学生上台演示,借助信息技术工具,一方面计算直线的斜率k,改变直线的倾斜程度,观察

y2y1x2x1的值,另一方面计算y2y1x2x1的值与斜率k的变化情况,可以发现：

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(1)

改变直线l的倾斜角,不论是锐角还是钝角, y2y1x2x1的值与斜率k总相等; (2)

当直线l的倾斜角确定后,k的值与点P1、P2的位置无关。

〖设问〗由上面的演示结果，同学们有何感想？

〖师生活动〗师鼓励学生大胆猜想：k证，从而得到直线过两点的斜率公式。

5.直线过两点的斜率公式

经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式：

k〖讨论〗

(1)

当直线P1P2与x轴平行或重合时,上述式子还成立吗?为什么? ——成立，因为分子为0，分母不为0。

(2)

当直线P1P2与y轴平行或重合时,上述式子还成立吗?为什么? ——不成立，因为此时分母为0。

(3)

已知直线上两点A(a1,a2),B(b1,b2),运用上述公式计算直线AB斜率时,与A,B两点坐标的顺序有关吗? ——当直线l的倾斜角确定后,k的值与点A，B的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时颠倒。

(4)

同一直线上任意两点所确定的斜率有何关系?——相等。

〖设计意图〗让学生经历从直观感知——猜想——理论验证的认知过程;同时，动态演示可以把教科书第88页图3.1-4所示的各种情况都展示出来,形象直观,可以更好地把握斜率公式;也可以解决了上述的几个问题。

6.例题讲解

例1 如图所示，已知A（3，2），B（4，-1），C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

〖设计意图〗直接利用斜率公式求直线的斜率，让学生再次体会斜率与倾斜角的关系。

三、练习

下列命题中正确的是（

B

）

A.直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan; B.若直线的斜率存在，则必有直线的倾斜角与它对应; C.若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应；

D.若平行于y轴的直线斜率不存在，则平行于y轴的直线的倾斜角不存在。

四、小结（引导学生总结）



在建立直角坐标系后，确定一条直线位置的几何要素是：直线上一个定点以及它．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

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y2y1x2x1，进而引导学生用斜率的定义加以验y2y1x2x1

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的倾斜角，二者缺一不可。

．．．．．．．．．．．．

直线的倾斜程度可用倾斜角或斜率来确定。

．．．．．．

．．一个角

．一个实数

．．．．．

几何法

代数法



倾斜角的三个要点：(1)以x轴作为基准;(2)x轴的正方向; (3)直线向上的方向



倾斜角的取值范围：0180



倾斜角与斜率的关系：不是一一对应关系。任何一条平面直线都有唯一的倾斜角,但并不一定有斜率。

( 090或90180时,和ktan一一对应;

90时,k不存在。) 

斜率是直角坐标系中表示直线位置的重要特征数值。它在确定直线的方程,判定直线是否平行、垂直，判定直线与圆的位置关系中，起着关键作用。



求斜率的方法：

1．已知倾斜角(90),则ktan;若90时,则k不存在

2．已知直线经过两点P、P2(x2,y2)的坐标，则k1(x1,y1)y2y1(x1x2)

x2x1五、作业



P94习题3.1A组第2,4题。



探究题：如何利用直线的斜率判断三点是否在同一直线上？

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