课题二 测建筑物的高度教学设计实例

5.6余弦定理

上海市闵行中学 闵孟斌

（一）教学目标

1.

经历余弦定理的推导过程，掌握余弦定理；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；初步体会余弦定理解决“边、边、角”

问题。

2.从已有的知识出发,通过对任意三角形边、角数量关系的探索，发现并证明余弦定理，培养观察、猜想、分析、抽象、归纳等逻辑思维能力以及演绎推理、逻辑论证的能力。

3.正确理解定理的结构特征和表现形式，感受数学之美；体会方程思想、特殊到一般、转化与化归等数学思想方法，理解余弦定理的本质。通过相关知识之间的联系，理解事物间的普遍联系性，激发探究数学、应用数学的潜能，提高学习数学的热情。

（二）教材分析

余弦定理是高中一年级第二学期数学教科书（上海教育出版社）第五章《三角比》的第三节<解三角形>的内容，它是体现任意三角形边角关系的重要定理，也是继正弦定理之后，解三角形的又一有力工具。从解三角形的问题出发，引发认知冲突，激起学生的求知欲望，调动学生的学习积极性；在定理证明的教学中，引导学生从特殊到一般进行分析讨论，注意分析思路，揭示蕴含在证明中的数学思想，最后引导学生用直角三角形边角关系推导出公式a2b2c22bccosA，在给出余弦定理的三个等式和三个变式之后，又对知识进行了归纳比较，发现特征，便于学生识记，同时也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高学生的思维层次。余弦定理的证明方法很多.本教学设计用勾股定理证明余弦定理，课本上用两点距离公式，今后可以用向量法再加以证明，鉴于课堂上的时间有限，把用两点距离公式证明的方法，安排为回家作业，以供学生课后思考. 本教学设计设法走出“定理公式一带而过，作业铺天盖地”的误区，促使教师与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程”的新天地；以“余弦定理的发现、证明、应用、深化”为基本探究内容，注意在学生已有知识结构和新知

1

识间寻找“最近发展区”，引导学生通过同化，顺应掌握新知识；以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

（三）学生分析

本课之前，学生已经学习了直角三角形的边角关系（初中）、任意角的三角比、三角恒等式和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用直角三角形的边角关系引导学生探究余弦定理，施教班级是我校理科实验班，学生基础较好，学习能力较强，但如何对问题进行探究，有待进一步提高，因此，如何选择探究的切入口，引导学生进行探究，加深学生对数学本质的认识，是教师在教学中必须思考的。在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学***难点。

（四）重点难点

教学重点：余弦定理的发现过程，运用余弦定理解决“边、角、边”、“边、边、边”及“边、边、角”问题。

教学难点：用直角三角形的边角关系推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用、深化时的思路。

（五）教学过程

活动1.创设问题情境，引入课题

问题1：我们班甲同学家距离闵行中学3千米，乙同学家距离闵行中学4千米，问甲同学家和乙同学家相距有多远。

（设计意图：这是一个贴近学生生活的开放性问题，体现数学问题来源于生活、服务于生活，期望激发学生的学习兴趣、热情和探索欲望，使他们迅速进入课堂状态。）

教师：甲同学家和乙同学家是否可能相距5千米？最远是多少？最近是多少？

学生：当夹角为直角时，甲乙两家相距5千米，最远是7千米，最近1千米。甲乙两家距离的范围是1,7。

（设计意图：让学生体会到甲乙两家的距离与两边的夹角有关系）

教师：如果两边的夹角确定，则甲乙两家的距离是否确定？

2

学生：确定

教师：根据三角形全等的“边角边”定理，我们感觉到甲乙两家的距离是确定的。既然是这样，如果夹角是60，那么甲乙两家的距离是多少？若设点A表示闵行中学，点B表示乙同学家，点C表示甲同学家，则此问题等价于问题2。

活动2.从特殊到一般，引导学生自主探究余弦定理

问题2：ABC中，|AB|3,|AC|4,A60，求|BC|

（设计意图：在学生已有知识结构和新知识间寻找“最近发展区”，在“最近发展区”提出层层递进的问题，让学生感觉自然、顺畅、合理。）

教师：既然|BC|是确定的，如何求？求解边角关系放在什么样的三角形中容易求解？

学生：直角三角形

引导学生作出ABC的AB边上的高CD，则有

BC2CD2BD2(4sin60)2(34cos60)213

所以|BC|13（提问学生，教师板书）

教师：如果将此问题一般化，看看谁最快算出夹角对边的长度。

问题3：ABC中，已知角A的大小，且|AB|c,|AC|b,，求BC边的长度a。

A

由于问题2的铺垫，学生容易解决问题3，让同学板演当A为锐角时

a2b2c22bccosA的推导过程。

D（图1）

C

C

C b c B

B

A

（图2）

D

A a (图3) B （设计意图：让学生展示自主探索、合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情会得到了空前的提高.）

3

教师补充说明当A为钝角类似可得，当A为直角时，显然符合此结论。

表杨学生发明了一个重要的定理-----余弦定理（板书课题）

并带领学生阅读课本68页解析法的证明方法。

余弦定理：a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系，并发现a与A，b与B，c与C之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现。

b2c2a2余弦定理的变式：cosA

2bca2c2b2a2b2c2cosB

cosC

2ac2ab（设计意图：在给出余弦定理的三个等式和三个推论之后，又对知识进行了归纳比较，发现特征，便于学生识记，同时也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，余弦定理是勾股定理的推广，提高了学生的思维层次。）

活动3：知识应用---探究“知三求一”问题

教师引导学生用方程思想分析余弦定理可以解决的三类问题。

问题4：在公式a2b2c22bccosA中，涉及四个量a,b,c,A，根据方程思想，可“知三求一”，由此可分为哪几类问题？并请各编一道题。

（设计意图：给“机会”让学生展示自我，尊重学生的主体地位，体会逻辑划分、方程思想，理解余弦定理的本质。期望出现生动活泼的自主、合作、交流的课堂活动场景，自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感。）

学生作答，教师板书：

（1）b,c,Aa 已知两边及夹角，求夹角对边。（进而可解三角形）

（2）a,b,cA 已知三边，求角。（进而可解三角形）

4

（3）a,c,Ab 已知两边及一边的对角，求第三边。（进而可解三角形）

（4）b,a,Ac 已知两边及一边的对角，求第三边。（本质上同（3））

每种类型从学生所编的题中选择一题展示出来，并请编题者给出解答。

活动4：知识深化----探究三角形形状问题

问题5：ABC中，b=4，c=3，角A为钝角，求a的范围。

（由此引申得到:ABC中, 角A为钝角cosA0a2b2c2）

深化了对余弦定理的理解，培养了解决问题的能力。

ABC为钝角三角形，求a的范围。

问题6：ABC中，b=4，c=3，（由此引申得到:ABC为钝角三角形cosA0或cosB0或cosB0）

a2b2c2或b2a2c2或c2a2b2）

尝试练习

（类比是伟大的引路人，由问题5、6铺垫，学生应不难解决下列两个问题）

问题7：ABC中，b=4，c=3，角A为锐角，求a的范围。

（由此引申得到:ABC中, 角A为锐角cosA0a2b2c2）

ABC为锐角三角形，求a的范围。

问题8：ABC中，b=4，c=3，（由此引申得到:ABC为锐角三角形cosA0且cosB0且cosB0）

a2b2c2且b2a2c2且c2a2b2）

活动5：尝试小结 布置作业

让学生小结并交流，教师及时补充，要体现：

（1）余弦定理的内容及其证明思想方法。

（2）余弦定理的应用与深化

（3）方程与分类讨论的数学思想。

（设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。

通过布置作业，巩固所学内容．使学生不仅能从知识的角度看所学过的内容，还能体会到寓于知识中的数学思想与方法．）

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课后作业

1.用两点距离公式证明余弦定理。

2.锐角三角形的三边长分别为a，a1,a2，求a的范围。

3.ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，求最大角的余弦值。 4.在ABC中，

abc,试用余弦定理证明：ABC为正三角形. cosAcosBcosC

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