6.4 反三角函数说课稿【一等奖】

6.4反三角函数（2）——反余弦函数、反正切函数

【教学目标】

1．理解函数y=cosx（x∈R），y=tanx（x≠kπ+x∈[0，π]，y=tanx，x∈（-，k∈Z）没有反函数；理解函数y=cosx，

2，）有反函数；理解反余弦函数y=arccosx，反正切函22数y=arctanx的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-，）. 22 2．知道反余弦函数y=arccosx ，x∈[-1，1]和反正切函数y= arctanx，x∈（-∞，∞）的图像. 3．掌握等式cos（arccosx）=x，x∈[-1，1]，arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]和tan（arctanx）=x，x∈（-∞，∞），arctan（-x）=- arctanx，x∈（-∞，∞）. 4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角. 5．会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题. 【教学重点】

理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质. 【教学难点】

公式arccos（-x）=π-arccosx、arctan（-x）=-arctanx的证明及其使用. 【教材分析】

本节课是基于学习了反正弦函数之后，类比反正弦函数的概念，学生掌握反余弦函数和反正切函数的概念相对比较容易，所以这节课的主要力量要花在反余弦函数和反正切函数的应用上，特别要注意反正弦函数值和反余弦函数值所表示的角的范围的区别以及反正弦和反余弦恒等式的区别. 【教学过程】

一、情景引入

1．复习

我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，x∈R，不存在反函数；但在[存在反函数. 2．思考

那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？

[说明]

因为对于任一余弦值y和正切值y都有无数个角值x与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论

余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得ycosx或y=tanx在,]22对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得ycosx或y=tanx存在反函数呢？

1

这个区间的选择依据两个原则：

（1）ycosx和y=tanx在所取对应区间上存在反函数；

（2）能取到ycosx的一切函数值1,1，y=tanx一切函数值R. 可以选取闭区间[0，π]，使得ycosx在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-，2），使得y=tanx在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反2正切函数.

二、学习新课

1．概念辨析

y023456x1-6-5-4-3-2--1fx = sinx1-6-5-4-3-2--1y023456x

fx = cosx

（1）反余弦函数和反正切函数的定义：

余弦函数y=cosx， x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x∈[-1，1]；

正切函数y=tanx， x∈（-∈（-∞，∞）；

2 ，）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x22

（2）反余弦函数和反正切函数的性质：

①图像 y=arccosx y= arctanx ②定义域：函数y=arccosx的定义域是[-1，1]；函数y= arctanx的定义域是R. ③值域：函数y=arccosx的值域是[0，π]；函数y= arctanx的值域是（-，）. 22 ④奇偶性：函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]；函数y= arctanx是奇函数，即arctan（-x）=-arctanx. ⑤单调性：函数y=arccosx是减函数；函数y= arctanx是增函数. [说明]互为反函数的两个函数图像关于直线函数y=arccosx，x∈[-1，1]的图像关于直线与函数y=arctanx，x∈R的图像关于直线 2．例题分析

例1．求下列反三角函数的值：

yxyx对称，函数y=cosx，x∈[0，π]与对称；函数y=tanx，x∈（-，）22yx对称.

（1）arccos13；（2）arccos（-）；（3）arccos0；

22（4）arctan1；（5）arctan（-3）

3解：（1）因为cos11=，且∈[0，π]，所以arccos=. 3232355533=-，且∈[0，π]，所以arccos（-）=. 66622 （2）因为cos （3）因为cos=0，且∈[0，π]，所以arccos0=. 222=1，且∈（-，），所以arctan1=. 442243 （4）因为tan

（5）因为tan（-33）=-，且-∈（-，），所以arctan（-）=-. 6622633例2．在△ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示∠A、∠B、∠C. 解：因为AC=AB+BC，所以∠B是直角，于是有

∠A= arcsin22212512= arccos=arctan；

13135∠B== arcsin1= arccos0；

25125= arccos=arctan. 131312∠C= arcsin例3．化简下列各式：

（1）arccos（cos1）；（2）sin[arccos()]；（3）cos[arctan（-1）] 72解：（1）因为∈[0，π]，设cos=α，所以arccosα=，即arccos（cos）=. 77777122123，所以sin[arccos()]=sin=3232. （2）因为arccos()=（3）因为arctan（-1）=-2，所以cos[arctan（-1）]= cos(-)=. 442-1例4．求下列函数的反函数f（x），并指出反函数的定义域和值域. (1) f（x）=x+arccos；（2）f（x）=3π-arctan（2x-1）

22xxxx+arccos，则arccos= y-，因为∈[-1，1]，arccos∈[0，π]，2222223x所以x∈[-2，2]，y∈[，]，根据反余弦函数的定义，得=cos（y-），即x=2cos22223-1（y-）.将x，y互换，得反函数f（x）=2cos（x-），定义域是[，]，值域是2222解：（1）设y=[-2，2].

4

（2）设y=3π-arctan（2x-1），即arctan（2x-1）=3π-y，因为（2x-1）∈R ，arctan57，），所以x∈R，y∈（，），根据反正切函数的定义，得2x-1=tan222211-1（3π-y）=-tany，即x=（1-tany），将x，y互换，得反函数f（x）=（1-tanx），2257定义域是（，），值域是R. 22（2x-1）∈（-三、巩固练习

判断下列各式是否成立?简述理由. 13）=；（2）arctan=3；（3）arcsin（-）= arcos(-)；2232222（4）arccos+ arccos(-)=0；（5）arctan+ arc tan(-)=0. 3333解：（1）式不成立，因为[-1，1]，故arccos无意义；（2）式不成立，因为其22（1）cos（arccos对应关系搞错了；（3）式不成立，理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了，事实上arcsin（-123）=-，而arcos(-)=，两者不等；（4）式不成立，因为把等式arccos3232（-x）=π-arccosx错记成arccos（-x）=-arccosx；（5）式成立，因为等式arctan（-x）=-arctanx. 四、课堂小结 （1）反余弦函数和反正切函数的定义；

（2）反余弦函数和反正切函数的性质.

五、课后作业

书上练习6.4(2)中的1、2、3、4

6.4反三角函数（2）——反余弦函数、反正切函数

一、填空题 1、

2、函数y2arcsin2x的反函数是______________ 3、已知cosxarcsin1arccos1arctan1_____________

arcsin0arccos0arctan01,x,0，则角x的值为______________ 34、设xsin,5,，则arccosx的取值范围是______________ 665、函数fxarccosx2,x1,1的奇偶性是______________ 6、若3cos10，当为ABC的一个内角时，则=______________

5

二、选择题

7、下列命题中正确的是 （ ）

A. 函数ysinx与yarcsinx互为反函数

B. 函数ysinx与yarcsinx都是增函数

C. 函数D. 函数ysinx与yarcsinx都是奇函数

ysinx与yarcsinx都是周期函数

8、下列等式中正确的是

A. cos(arcsin3)3o

B. arccos()120

C. arcsin(sin123)3 D. arctan2

241arccosx2的值域是

（ ）

29. 函数yA．

0,

2

4B．

0,C．

,

42,

2D．

三、解答题

10、

求函数yarcsincosx2x33的值域

11、

计算：tanarccos2

26

6

12、

求cos2arctan的值

34答案：

1、31x12 2、ysin,x, 3、arccos 4、0,

2223317、C 8、C 9、C 5、奇函数 6、arccos10、6,2

3、23

12、725

7 11