4.6 对数函数的图像与性质教学设计(第二课时)

4．6 对数函数的图像与性质（1）

教学目标设计

1、掌握对数函数的概念，图像与性质．学会运用对数函数的性质求对数函数的定义域和值域．

2、学会运用对数函数的单调性等知识比较两个对数值(式)的大小．

3、学会观察、分析、类比归纳等方法来探索问题，形成应用数形结合、类比联想、分类讨论、化归法等数学思想解决问题的能力，提高创新意识和创造能力．

4、通过指数函数与对数函数图像与性质的联系与区别，树立事物是相互联系、相互转化，是对立统一的辩证唯物主义思想．

教学重点及难点

掌握对数函数的图像与性质；熟练运用对数函数的性质求对数函数的定义域、值域，会比较两个对数值(式)的大小．

教学过程设计

一、情景引入

1．观察

取一张簿纸,对半折,就会有2层,再对半折,会有4层；……

一我们张这样的纸经过x次对折后,得到的纸层数 y是次数x的函数.这个函数可以用指数函数 y＝2x (xN)表示．

2．思考

反之，如果要求一张纸折叠多少次,大约可以得到128层、1024层……折纸次数

x是纸张层数 y的函数．

3．讨论

根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式就是 x=log2y.如果用 x表示自变量，y 表示函数，这个函数就是y＝log2x.由反函数的概念可知 y＝log2x ，即对数函数是同底数的指数函数的反函数．

二、学习新课

1．概念、图像、性质辨析

(1)对数函数的概念

函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数，函数ylogax

*(a0且a1)与指数函数ya(a0且a1)互为反函数．

1 x

(2)复习指数函数的图像与性质

指数函数的图像与性质如下表：

a1

图

yy=ax(a>1)

像 0a1

yy=ax(0

10y=1x

R，值域为(0,)

(1)定义域为性

(2)图像过定点(0 ，1) 质

y1

(3)当x0时，(3) 当x当x0时，0y1

0时，0y1

(，)上是增函数

当x0时，y1

(，)上是减函数

x(4)在(4)在 (3)比较指数函数的底数大小

要比较指数函数的底数大小，可作直线x1，则直线x1与指数函数ya图像的交点的纵坐标的值即为a．如图所示：由

yAyByCyD可得出：ab1cd．

yy=ax(a>1)y=bx(b>1)Ay=cx(0

2

(4)试作出函数ylog2x和函数ylog1x2的图像. [说明] 互为反函数的两个函数图像关于直线yx对称

xyx对称的曲线，即为函y2解：先作出函数的图像，再作其关于直线数ylog2x的图像．

1xy()2的图像，再作其关于直线yx对称的曲线，即同理：先作出函数ylog1x为函数y2的图像．

y=x1xy=()2yy=xy=2xy=log2x0x0xy=log1x2

提问：观察下图，你能得出哪些对称关系？

1xy=()ayy=axy=xy=logax0xy=log1xa

[说明]由上图可以推出：

1yxyaa的图像关于y轴对称；

1．函数与

3 x

2．函数ylogax与ylog1x的图像关于x轴对称；

a3．函数ylogax与yloga1的图像关于x轴对称．

x(5)参照上面“指数函数的图像与性质”表格，类比归纳推出：

对数函数的图像与性质如下表：

图

a1

0a1

x=1yx=1

y像 y=logax(a>1)01x

01xy=logax(0

性

(0，)，值域为R (1)定义域为

(2)图像过定点(1 ，0) 质

(3)当x1时，y0

(3) 当x1时，y0

当0x1时，y0

当0x1时，y0

(4)在)上是增函数

(4)在(0， (5)比较对数函数的底数大小

(0，)上是减函数

要比较对数函数的底数大小，可作直线y1，则直线y1与对数函数ylogax图像的交点的横坐yy=logaxy=1DACBy=logcxx4 标的值即为a．如图所示：由

xBxAxDxC可得出：y=logbxba1dc0．

0

y=logdx

2．例题分析

例1：求下列函数的定义域：课本第18页例1 例2：求函数ylog2(6xx2)的定义域与值域．5

分析：由6xx20，解得3x2，得：函数ylog2(6xx2)的定义域是(3，2)．5125252当x(3，2)时，06xx2(x)2，且以为底的对数244525函数是单调递减的，ylog2(6xx2)log22，455得：函数ylog2(6xx2)的值域是[2，)．5

[说明] (一)求函数的定义域的方法有: 1.分母不为零； 2.偶次方根的被开方数非负；

3.对数的真数大于零； 4.指数函数、对数函数的底数大于零且不等于1；

5.零指数幂底数不为0；

6．利用反函数的值域求原函数的定义域；

7．实际问题要有意义．

(二)求函数ylogaf(x)的值域的一般步骤是: 1．先求出这个函数的定义域，即自变量x的取值范围；

2．再求函数f(x)的取值范围；

ylogaf(x)的取值范围，即函数的3．最后根据对数函数的单调性求得函数值域．

4．根据反函数的定义域求原函数的值域．

例3：下面给出四个函数与代号为A、B、C、D的四个图像，将图像的代号填入括号内：

5

(1)函数ylgx的图像是((2)函数ylog4x的图像是((3)函数ylog2x的图像是((4)函数ylog1x的图像是(2)；)；)；)．

yABCxD

01[说明]对数函数ylogax的图像，当a1时，底数a越大，其图像越靠近x、y轴；当0a1时，底数a越小，其图像越靠近x、y轴．

例4：若a0且a1，则函数yax11的图像一定过点_______；函数yloga(x1)1的图像一定过点________．分析：分别过点(1，0)，(2，1)．

xya[说明]指数函数的图像恒过点(0 ，1)；对数函数ylogax的图像恒过点(1，0)．

例5：利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

《课本》第18页例2 例6：比较下列两数的大小：1(1)log0.1与log20.013(3)log35与log54

11与log622(4)log0.32与log20.3(2)log5

6

分析：(1)底数00．11，真数011根据对数函数的性质331得log0．0，又底数21，真数00．011根据对数函数的131性质3得log20．010，得：log0．log20．01．1311(2)log5log6；(3)log35log34；(4)log0．3．32log20．22

[说明]比较两对数大小的常用方法：

1．底数相同时，利用对数函数的单调性来比较；

2．底不同真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的问题再比较；

3．底与真数都不同时，利用0、1或-1等中间量进行比较．

3．问题拓展

例：(1)若ylg[(1a2)x2(1a)x1]的定义域为R，求实数a的取值范围．(2)若ylg[(1a2)x2(1a)x1]的值域为R，求实数a的取值范围．分析：(1)当a1时，ylg10，xR，符合题意；当a1时，ylg(2x1)，不符合题意；当a1时，由题意，二次函数f(x)(1a2)x2(1a)x10231a0对一切实数x均成立，必须a1，225(1a)4(1a)03综上可得：a(,1]．5

(2)令t(1a2)x2(1a)x1,则ylgt，因为y取遍一切实数，所以t应取遍一切正数．当a1时，ylg10，不符合题意；1当a1时，ylg(2x1)，只须x即可符合题意；2当a1时，由题意，二次函数t(1a2)x2(1a)x1的函数值要取遍一切正数，1a1231a0必须1a，3225a或a1(1a)4(1a)05综上可得：a[1，3]．5

三、巩固练习

1．当a1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图像是(

y)．

yyy0x0x0x0xAB7 CD

2．作出函数ylog2(x1)的图像．

解一：先作出其反函数y2x1的图像，再画这个图像关于直线yx的对称图形，即为所求作的函数ylog2(x1)的图像．解二：先作出函数ylog2x的图像，再向右平移1个单位即可．

解三：用描点法作出函数ylog2(x1)的图像．3．根据条件，确定字母a的取值范围：(1)loga2a0(2)loga212a1(3)log1a3(2a1)0(4)yloga(x2ax1)的定义域为R；

(5)函数f(x)logax(2x4)的最大值比最小值大2．1a1．(2)2a12．212(3)a1或a．(4)0a1或1a2．23(5)若a1，得ylogax在[2，4]是增函数，分析：(1)故loga4loga2loga22a2；若0a1，得ylogax在[2，4]是减函数，故loga2loga4loga综上得：a122a．2222或a．2

四、课堂小结

本节课的内容是对数函数的概念、图像和性质，在理解对数函数概念的基础上，掌握和运用对数函数的图像和性质是本节课的重点和难点．由于对数函数与同底的指数函数互为反函数，其图像关于直线yx对称，所以由指数函数的图像相应地得到对数函数的图像，并由对数函数的图像特征，再类比指数函数的性质得到对数函数的性质．在学习、理解和运用对数函数的性质时，要注意避免与指数函数的性质相混淆，既要数形结合，又要分类讨论．

求函数ylogaf(x)的定义域、值域以及比较两对数值(式)大小是对数函数性质的主要运用．要注意方法的归纳总结．

五、作业布置

数学《练习部分》高一第二学期P5习题4．6 A组

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