课题四 制作管道教学设计方案

制作管道的数学建模

一、教学目标：

1.通过学习探究与实践的课题四制作管道为载体让学生体验运用数学知识建模解决问题的过程。

2.活用三角知识解决实际问题。

3.增强学生实践动手能力通过参与问题解决的活动，逐步增强合作意识，形成数学知识的应用意识和综合意识。

二、教学重点、难点：

重点：构建数学模型、运用三角知识解决实际问题。

难点：数学模型的建立。

三、教学过程：

展示图片，解释课题四在实际生活中产生的背景，引出问题“大口径的管道用钢板卷曲焊接而成，请设计钢板切割方案，标出焊缝位置。”

学生实验操作：

提供给学生圆柱形物体、可裁成任意宽度纸带的纸张、剪刀、胶带。请同学动手实验探究。

生1：用纸带缠绕圆柱形物体，用铅笔在纸带上做好剪裁记号，摊开纸带裁去多余部分。

DBOCA

生2：用胶带包裹好圆柱体模型（无盖），将圆柱侧面沿胶带接缝螺旋线剪开。

学生操作后还可以将圆柱一边在黑板上滚动，一边将其剪开的侧面展开并粘于黑板上，让大家体会刚才的操作过程。

OBADCFEHJIKLG

生3：缠绕一个长为圆柱高，宽为圆柱底面半周长的矩形。

启发：空调是把送风管、排冷凝水管、电线包裹缠绕在一起，形状不一定是圆柱，那会有什么不同呢？比如缠绕包裹的对象不是圆柱，而是一个正三棱柱、正四棱柱、任意直棱柱或者一把直尺呢？

纸制的侧面即可以是一个圆柱的侧面，也可以折成任意等高，等底面周长的任意直棱柱侧面。

这样运用拓扑思想把立几问题平几化，思考起来更为简单。

1

OBDAGH

（黑色粗线条处为折痕。）实际使用纸带的长度为：OG

学生发现问题：切割方案主要由一个角度决定，（裁去直角三角形的一个锐角或者剪裁为平行四边形纸带的一个内角）。纸带不同或圆柱不同得到的角度也不同。

学生提出问题：进一步关注这个角度与哪些变量有关。

学生解决问题：

1、引导学生建模解决问题：

角度的大小与纸带的宽度、圆柱底面周长有关。故设纸带宽为d，圆柱底面半径为r，高为h。设纸带被裁为平行四边形后一个锐内角BAC。

已知：纸带宽为d，圆柱底面半径为r，高为h。d2r

求：①纸带被裁为平行四边形后一个锐内角；②所需纸带的长度。

解：如图所示：

DBOCA

AOd，AB2r，

OAdsin

AB2rd纸带被裁为平行四边形后一个锐内角arcsin。

2r图中AB为圆柱底面周长，AC为圆柱螺旋线一个周期，BC为包裹一周后被包圆柱的高度。

BCABtan2rtan，而AB42r2，AC，OB42r2d2

BC2rcos42r2d242r2d2d（询问学生如果缠绕完毕非整数周，该如何所需计算纸带长度。）

2

实际使用纸带的长度为：OBhAC

BC2、引发学生讨论

启发方式1：老师取出与之前相同的模型沿圆柱母线剪开，提问与刚才的剪开方式对比能说明什么？

OAB

启发方式2：演示纸带宽度发生变化时，所需纸带长度的变化情况。

学生想到尝试另一种计算纸带长度方式：从面积出发。

S胶带面积=S圆柱侧面积SAOB

AOBS圆柱侧面积S实际使用胶带的长度为：d

3、拓展思考一

这样的问题在实际生活中很常见，比如用手胶包裹羽毛球拍的握把，安装空调时包裹连接室外挂机的管道，包在自行车龙头握把上的防滑胶带等。

①有时仅仅起装饰作用，要求包裹时在胶带间留出等宽的空白条（比如美发店的旋转灯箱）；

②有时为了达到更好的保护效果，要求圆柱表面均被两层胶带包裹覆盖（比如包裹连接空调室外挂

3

机的管道）。

请同学们按要求设计剪裁胶带的方案，求出所需胶带的长度。

4、拓展思考二

我们平时吃的可爱多冰淇凌它的外包装是圆锥形的。可以用纸带缠绕制成吗？

生：不行。将事先制作好的圆锥剪开。

那如果允许重叠呢？包裹圆锥的一段比如一个圆台都不可以吗？

那粉笔是接近圆柱的一个圆台可以用纸带缠绕包裹吗？

生：可以。

回顾小结

这堂课我们通过仔细观察、动手实践操作，发现抽象出跟问题相关的核心变量，并且进一步研究他们之间的具体数量关系，解决实际问题。体验了建立数学模型解决实际问题这一过程。

课后作业与思考：

1、在物理实验中，用一根长为9厘米、直径为1厘米的圆柱形磁棒，在它的外面用一段漆包线缠绕10圈，并使漆包线的两个端点落在磁棒的同一母线的两端。问需要用多长的漆包线缠绕，才能使得漆包线既不会打结也不会松弛？

2、某个山区为了经济开发，要在一座山上修建一条盘山公路，其入口处在山脚下的公路边，终点是从山顶到山脚的连线上的半山腰处，该山的形状近似一个圆锥，山坡的长度为l千米，沿山脚一圈的长度为2r千米l2r，问该条道路至少长多少千米？

4

教学过程详案：

请学生观察自来水管、薯片包装盒的照片。

师：图中的自来水管、薯片盒子是如何制作的。

生：用矩形长条的钢板、硬纸板卷曲缠绕焊接、粘合而成。

（学生如果回答用矩形钢板直接卷成圆柱侧面。

指出实际制作过程中影响制作工艺的一些原因：①厚钢板越窄越容易卷曲；②便于生产线连续制作；③一些物理因素。）

把课本上制作大口径管道的示意图展示给学生看。

师：如果依此方法制作一根大口径的自来水管道，我们有什么问题有待解决的？

生：如何剪裁切割钢板？

生：需要多长的钢板？

师：卷曲钢板时有什么工艺要求吗？

生：钢板不重叠，紧密连接无间隔缝隙。

（把学生提出的问题归纳后书写于黑板上，制作工艺要求也写在黑板上。）

（如果学生提到：水管口径、钢板宽度等。

指出制作材料、产品都有统一规格，都已经确定的了，否则规格不一样安装水管时就接不上了。）

就像做一件衣服先确定如何剪裁，得出买多少布，然后制作就是了。

请学生2人一组按照工艺要求（不重叠无间隔）动手操作探索剪裁方案。

请同学上来示范，或者把学生剪裁成功的纸带粘于黑板上。

师：要确定剪裁方案，也就是要确定这一刀如何剪，实际就是要决定这个角。

师：角的大小由哪些因素决定呢？

⑴请两组学生（每组2人）上来操作。

第一组：用不等宽的两条纸带缠绕胶水瓶子。

第二组：用等宽的纸带缠绕胶水瓶以及与胶水瓶等高的薯片罐子。

把4条纸带分组粘于黑板上请学生观察角与纸带宽，角与口径的关系。

继而发现：纸带宽也就是邻边，底面周长也就是斜边。

⑵请同学用刚才的实验结果解释三张照片上焊缝角度的区别。

⑶请同学观察动画。观察前

师：圆柱的侧面展开是一个矩形，为什么这里有这么多个矩形？

生：旋转一圈就是一个矩形。

再展示带宽变动，半径变动的动画。

师：通过刚才的探究我们知道了剪裁角度与带宽、底面半径有关。那具体是怎么样的一个数量关系？我们一起来定量解决一下。

师：哪些量是已知的？（老师书写已知、求、解…）

求解纸带长度时学生可能从绕一圈的高度、旋转展开、面积等方面着手，均可以。

师：这样的问题在实际生活中很常见，比如用手胶包裹羽毛球拍的握把，安装空调时包裹连接室外挂机的管道，包在自行车龙头握把上的防滑胶带等。

师：①有时仅仅起装饰作用，要求包裹时在胶带间留出等宽的空白条（比如美发店的旋转灯箱）；如何去求所需胶带的长度呢。

5

师：②有时为了达到更好的保护效果，要求圆柱表面均被两层胶带包裹覆盖（比如包裹连接空调室外挂机的管道）。或者产生更大摩擦提高抓握性能，（比如羽毛球拍的握把）。如何去求所需胶带的长度呢。

回顾小结

这堂课我们通过仔细观察、动手实践操作，发现抽象出跟问题相关的核心变量，并且进一步研究他们之间的具体数量关系，解决实际问题。体验了建立数学模型解决实际问题这一过程。

6