3.1.2 共面向量定理第二课时教学设计

3.1.2

共面向量定理

课时目标

1.理解共面向量的定义.2.掌握共面向量定理，并能熟练应用．

1．共面向量的定义：

一般地，能________________的向量叫做共面向量．

2．共面向量定理：

如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝__________. 3．共面向量定理的应用：

(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面．

(2)空间中四点共面的条件

→→→空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x、y使得MP＝xMA＋yMB，①

→→此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA，MB实质就是面MAB内平面向量的一组基底．

→→→→另外有OP＝OM＋xMA＋yMB，②

→→→→或OP＝xOM＋yOA＋zOB

(x＋y＋z＝1)．③

①、②、③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．

一、填空题

1．下列说法中正确的是________．(写出所有正确的序号) ①平面内的任意两个向量都共线；

②空间的任意三个向量都不共面；

③空间的任意两个向量都共面；

④空间的任意三个向量都共面．

2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的有________．(写出所有正确的序号) →→→→→→①AB＋BC＝AC；②AB－BC＝AC；

→→→→③AB＝BC；④|AB|＝|BC|. 3．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是________．(写出所有符合要求的序号) →→→→①OM＝2OA－OB－OC；

→1→1→1→②OM＝OA＋OB＋OC；

532→→→③MA＋MB＋MC＝0；

→→→→④OM＋OA＋OB＋OC＝0. 4．已知向量a与b不共线，则“a，b，c共面”是“存在两个非零常数λ，μ使c＝λa＋μb”的____________条件．

→→→5．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有OP＝2OA＋OB＋→λOC，则λ＝________. 6．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)．

→→→→→7.在ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝2NC，M为BC的中点，则MN＝____________(用a、b表示)．

→→→8.在四面体O-ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，→则OE＝________(用a，b，c表示)．

二、解答题

9．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M、N、P、Q四点共面．

1→→10.如图所示，平行六面体A1B1C1D1-ABCD，M分A1C成的比为，N分A1D

2→→→→成的比为2，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，试用a、b、c表示MN.

能力提升

→11.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，→→→A1D1＝b，A1A＝c，则B1M＝__________(用a，b，c表示)．

12．已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面．

→→→→(1)OB＋OM＝3OP－OA；

→→→→(2)OP＝4OA－OB－OM.

向量共面的充要条件的理解

→→→1.空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在实数对（x,y），使MP＝xMA＋yMB.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．

2．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用→→→→“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．