2.2.1 椭圆的标准方程课堂实录

椭圆

椭圆及其标准方程

一、教学目标

理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．

二．教学过程

（1）预习与引入

当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．

（2）新课讲授

（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．

〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M时，椭圆即为点集PM|MF1MF22a．

（ii）椭圆标准方程的推导过程

提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．

无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．

设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．

y2x2

类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程221ab0．

ab（iii）例题讲解与引申

例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，2,0，并且经过点标准方程．

分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．引导学生用其他方法来解．

53,，求它的22x2y2另解：设椭圆的标准方程为221ab0，因点ab

92512a10532在椭圆上，则．

,4a4b22a2b24b6例2 如图，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

分析：点P在圆x2y24上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程．

x2y21上动点，求线段AP中点M的轨迹方引申：设定点A6,2，P是椭圆259程．

解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设Mx,y，Px1,y1；②（点与伴随点的关x12x6系）∵M为线段AP的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵y2y21x3y1x12y121M1，∴点的轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围．

2592594例3如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为224，求点M的轨迹方程．

9分析：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是出x,y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程．

解法剖析：设点Mx,y，则kAM代入点M的集合有4，因此，可以求9yyx5，kBMx5；

x5x5yy4，化简即可得点M的轨迹方程．

x5x59引申：如图，设△ABC的两个顶点Aa,0，Ba,0，顶点C在移动，且kACkBCk，且k0，试求动点C的轨迹方程．

引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k值在变化时，线段AB的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．