2.6.2 求曲线的方程教学设计(教案)

第3讲

圆锥曲线基本量的运算

一、课前预习

x2y21．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．

73x222．(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y＝1的右准线与它的两条渐近线分别3交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．

x2y23．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直abb线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．

2

二、课中探究

热点一

圆锥曲线的定义和几何性质

x2y2例1

(1)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2ab为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值不小于3(a－c)，则椭圆的离心率的取值范围为________．

2x2y2(2)如图，已知点A，F分别是2－2＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂ab直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS＝2S△POQ，则双曲线的离心率是__________．

(3) 已知抛物线C1：x2＝2y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B两点，交C1的准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆C2的标准方程为________．

感悟提升

(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．

(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．

x2y2跟踪演练1

(1)(2017·江苏南京三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－＝1的焦距2m3m为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是________．

x22(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－y＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线a的两条渐近线的方程为________________．

x2y2(3)已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于A，Bab两点．若AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，则椭圆C的离心率为________．

热点二

直线与圆锥曲线

x2y2例2

如图，点A(1，3)为椭圆＋＝1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C2n两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线AB，AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形．

①求直线BC的斜率；

②求△ABC的面积的最大值，并求出此时直线BC的方程．

感悟提升

解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关系求解．涉及中点问题也可以用点差法．

x2y2跟踪演练2

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与直线y＝kx(k＞0)相交ab

于A，B两点(从左至右)，过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D.

(1)若椭圆的离心率为2，点B的坐标为(2，1)，求椭圆的方程；

2(2)若以AD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．

三、课堂检测

1．已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其中一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为____________．

x2y22．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的四个顶点，abF为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．

x2y23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过43右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)．

(1)若QF＝2FP，求直线l的方程；

(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2.是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

四、课后作业

x221．已知双曲线2－y＝1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________．

a2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．

3．若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则此双曲线的离心率为________．

x2y24．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为ab________．

x22→→5．设F1，F2分别为椭圆＋y＝1的焦点，点A，B在椭圆上，若F1A＝5F2B，则点A的坐3标是________．

x2y2x6．设椭圆C：＋＝1与函数y＝tan 的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且434直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．

x2y237．设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为. ab5(1)求C的方程；

4(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

5

x2y28．设F1，F2分别为椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交ab于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为23. (1)求椭圆C的焦距；

→→(2)如果AF2＝2F2B，求椭圆C的方程．

3x2y211，在该椭圆上．

9．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点2ab2

(1)求椭圆C的方程；

62(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆7心在原点O且与直线l相切的圆的方程．

x2y21y2210．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x＝1的焦ab22点重合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．

(1)求椭圆C的方程；

→→(2)求OA·OB的取值范围．