1.3.1 量词教案1

第一章

常用逻辑用语

1.4

全称量词与存在量词

1.4.1

全称量词

1.4.2

存在量词

A级

基础巩固

一、选择题

1．下列命题中，不是全称命题的是(

) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数

C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数

解析：D选项是特称命题．

答案：D 2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(

) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数

1D．存在一个负数x，使＞2 x解析：A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－13)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有＜0，所以x

D是假命题．

答案：B 3．下列命题中的假命题是(

) A．∀x∈R，2x－1＞0

B．∀x∈N*，(x－1)2＞0 C．∃x0∈R，lg x0＜1

D．∃x0∈R，tan x0＝2 答案：B 4．下列命题中的真命题是(

) A．∃x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝3 B．∀x∈(0，＋∞)，ex＞x＋1⇒f(x) C．∃x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0

D．∀x∈(x，π)，sin x＞cos x

π解析：A.sin x＋cos x＝2sinx＋≤2.所以排除A.

4B．令f(x)＝ex－x－1，

f ′(x)＝ex－1＞0对于x∈(0，＋∞)恒成立．所以f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＞f(0)＝0恒成立．故B正确．

2x0C．x∈(－∞，0)，3＞1，所以2x0＞3x0，故C错．

πD．x＝时，sin x＝cos x．故D错．

4答案：C 5．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是(

) A．a＜1

C．－1＜a＜1

答案：A 二、填空题

B．a≤1 D．－1＜a≤1

6．若命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”为真命题，则a的取值范围是________．

解析：因为函数y＝ex在[0，1]上为增函数，

所以1≤y≤e，

若p为真，则a≥(ex)max＝e.

答案：[e，＋∞)

7．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．

答案：②③

8．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．

解析：依题意有：

2a－1＞0，a＜－1或a＞1，20＜a－1＜1⇔2⇔⇔

a－1＜1，－2＜a＜2，－2＜a＜－1或1＜a＜2.

答案：(－2，－1)∪(1，2) 三、解答题

9．若方程cos 2x＋2sin x＋a＝0有实数解，求实数a的取值范围．

解：因为cos 2x＋2sin x＋a＝0，

2所以a

＝2 sin2x－1－2sin x＝2(sinx－sin x)－1，

123所以a＝2sin x－2－.

2又－1≤sin x≤1，

1233所以－≤2sin x－2－≤3.

22

3故当－≤a≤3时，

2方程cos 2x＋2sinx＋a＝0有实数解，

3所以，所求实数a的取值范围是－2，3

10．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．

解：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1，2]时恒成立，

所以a≤1.

∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，

即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，

所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0.

所以a≤－2或a≥1.

又p∧q为真，故p、q都为真，

a≤1，所以所以a≤－2或a＝1.

a≤－2或a＝1，

B级

能力提升

1．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为(

) A．0个

C．2个

答案：A 2．若命题“∃x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为______________．

解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4＞0，

B．1个

D．3个

解得a＜－1或a＞3.

答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)

3．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

解：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，

所以a∈R.

(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0，a∈[－1，1]．