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泸县二中外国语实验学校2020届思远班数学超前学习学案

第27章

圆的有关概念及其性质

一．圆的定义

1.动态定义：在一个平面内，线段

OA 绕它固定的一个端点

O 旋转________，另一个端点

A 所形成的图形叫做________．其固定的端点

O 叫做______，线段

OA 叫做______.

以点

O为圆心的圆，记作______，读作“圆O”．

2.静态定义：平面上到_____的距离等于_______的点组成的几何图形叫_____，其中定点叫圆的_____，定长叫圆的_____. 3.圆的两要素：_________和_________，其中圆心确定圆的________；半径确定圆的____________. 二．与圆有关的概念

（一）与圆有关的位置线

1.弦: 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过_______的弦叫做直径．比如__________________. 注意:（1）弦和直径都是线段；（2）直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 2.弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做_________，简称________．如图，以A、B为端点的弧记作_________，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条_______的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做_______. 3.切线：与圆只有______交点的直线叫圆的______.比如__________________. 4.割线：与圆有______交点的直线叫圆的______.比如__________________. （二）与圆有关的位置角

1.圆心角：顶点在________上，且角的两边都与圆周_______的角叫________.比如______________. 2.圆周角：顶点在________上,且角的两边都与圆周_______的角叫做________.比如______________. 3.弦切角：顶点在_________上,且角的一边与圆_________,角的另一边与圆______的角叫_______.比如_________________.

三．与圆有关的性质

探究位置线与位置角之间的数量关系

探究一：线线关系：在同圆中，探究直径，弦，弧之间的关系

定理1______________：垂直于弦的直径___________，平分弦所对的______________. 已知：AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，求证：CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD

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垂径定理的推论：直径，直径垂直于弦，直径平分弦，直径平分弦所对的劣弧，直径平分弦所对的优弧，以上五个中知二推三. 探究二：线角关系：在同圆中，探究圆心角，弦，弧之间的关系

定理2_______________：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对应的_____________________分别相等.

在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE⊥AB，OF⊥CD，求证：弧AB=弧CD，AB=CD，OE=OF

圆心角定理的推论（也称一等对三等定理）:在同圆和等圆中,等圆心角，等弧，等弦，等弦心距，四个中知一推三. 探究三：角角关系：在同圆中，探究同弧所对的圆心角∠AOB和圆周角∠ACB的数量关系. 定理3_______________：一条弧所对的圆周角等于它所对的___________.

圆周角定理的推论1：在同圆和等圆中,同弧（或_____）所对的________都相等，且等于它所对的______________.

圆周角定理的推论2：直径所对的圆周角是_______；反之，圆周角是直角时，它所对的弦是_______. 补充：圆内接多边形概念：一个多边形的所有顶点都在同一个圆周上，就称这个多边形叫做圆的内接多边形. 圆周角定理的推论3：圆内接四边形的对角______________.

四．与圆有关的位置关系

探究一：点与圆的位置关系

点与圆的位置关系

位置关系

数量关系

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探究二：直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系

位置关系

交点个数

数量关系

探究三：圆与圆的位置关系

五．与圆有关的计算

探究1：线的有关计算：弦长和弧长

探究2：角的有关计算：圆心角，圆周角，弦切角

探究3：面积的有关计算：扇形的面积，弓形的面积，不规则图形的面积

探究4：与圆锥有关的计算：圆锥的表面积和侧面积

六．定理的应用

1.下列语句中不正确的有（

）

①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；

③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．4个

2.如图，在⊙O中，已知弦AB长为16cm，C为弧AB的中点，OC交AB于点M，且OM：MC=3：2，则CM长为

．

3.如图，在⊙O中，M是弦CD的中点，EM⊥CD，若CD=4cm，EM=6cm，则⊙O的半径为

．

4.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=2cm，则⊙O的周长为

．

5.已知在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直且相等的两条弦，垂足为点P，且OP=32，则弦AB的长为

．

6.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为 ．

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7.如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=22°，则∠AOB的度数为

．

8.如图，在⊙O中，∠BOD=120°，则∠BCD的度数是

．

9.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是

．

10.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是

．

11.已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是 ．

12.如图，⊙A过点O（0，0），C（3，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是

．

13.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为弧AB的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为

．

14.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为

．

15.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为

．

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16.如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=27，CD=1，求BE的长.

17.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，求OF的长度.

18.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D、E、F、G．

（1）求证：CD=EF；（2）若⊙O的半径为42，AE=2，求AB的长．

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