24.1 圆课堂实录【3】

垂直于弦的直径 学习目标 1. 了解圆的轴对称性；

2. 理解垂径定理；（重点）

3. 运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 重点：运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．

难点：运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．

一、课前预习【教材自学】：请学生自主学习教材第二十四章P80至P81，完成如下问题：

1.圆的对称性：圆是________图形，对称轴是________所在的直线。

2.垂径定理：垂直于弦的直径_____________，并且________________弦所对的两条弧。

二、课堂探究

【探究一】：圆的对称性：

1、请学生说说圆的对称性及对对称轴的认识（利用手中的圆进行探究）

2、圆的对称性（小组交流识记）

【探究二】：垂径定理：

问题1：如图（1），⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E。把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？

问题2：你能证明图中AE=BE吗？（口头证明）

问题3：当上述的弦AB为直径时，结论成立吗？ 【小结归纳】

1、垂径定理（小组交流识记）

2、对照上图将垂径定理写成推理形式

在⊙O中，∵_________________、_________________；

∴_________________、__________________、__________________。

【针对训练】判断下列命题是否正确：

（1）直径是圆的对称轴。 （ ） （2）垂直于弦的直径平分这条弦。 （ ） （3）过圆心垂直于弦的直线平分弦所对的弧。

（ ）

探究三】：垂径定理的运用

问题1：利用垂径定理求圆中线段的长 已知：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为6，OC⊥AB交AB于E，

（1）若弦心距OE长为4，则半径OA长为多少？

（2）若弓形高CE长为1，则半径OA长为多少？（独做、交流、展示）

【小结归纳】 圆中常见的辅助线：构造由_______、________、_______组成的直角三角形，利用垂径定理和勾股定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．

【针对训练】

1、如图，已知⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于E。

（1）若AB=12，0A=10，则OE=______，EC=______；

（2）若OA=10，OE=8，则AB=______；

（3）若AB=12，EC=2，则OA=？（列式解答）

问题2：利用垂径定理证明圆中的线段相等

已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于

C，D两点，求证：AC＝BD。（独立完成、小组交流、个别展示）

【针对训练】在圆O中，AB、AC是互相垂直且相等的弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC与E.求证：四边形ADOE是正方形

变式提升.已知：如图，AB、CD是半径为5cm的圆O的两条弦，AB∥CD，AB=8cm,CD=6cm,求弦AB与CD的距离.

【课堂总结】

（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理； （3）圆中常见的辅助线是：构造由_______、________、_______组成的直角三角形，利用垂径定理和勾股定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．

【当堂评价】（25分，5分钟）

1、如图，已知⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于E。

（1）若AB=6，0A=5，则OE=______，EC=______；

（2）若OA=5，OE=4，则AB=______. 2、如图是排水管的截面，水面宽AB=16cm，排水管里的水深（弓形高）

为4cm。求排水管的半径。

【作业布置】教材P88第1题、P89第8、9题；选做P90第13题；

【学习反思】