公因式为多项式的提公司因式法教学设计案例

《4.2.1 提公因式法》

【教材依据】

本节课选自北师大版八年级下册第四章《因式分解》的第二节第1课时《提公因式法》。第四章内容包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系及因式分解的两种基本方法（提公因式法和公式法）。其中最基本的方法就是第二节中的提公因式法。

一、设计思路

教学设计思想：

课标要求会用提公因式法分解因式，在课堂上学生是学习的主体，教师是学习活动的组织者、引导者与合作者，教师为学生提供提公因式法分解因式学习的情景、独立思考的时间，借助多媒体技术，引导学生主动探索、合作交流，发现规律，使学生获得知识、掌握学习方法、提高学习兴趣。

教材分析：

提公因式法因式分解是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的，本教材安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法。因式分解是解析式的一种恒等变形，学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。

学情分析：

教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了整式乘法运算，对乘法分配律有了一定的认识；而且，学生在小学已经掌握公因数及最大公因数的概念，在这个活动经验的基础上提出公因式的概念学生易于理解；“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法，它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难。

教学方法分析：

根据本节课内容，遵循学生认知规律和心理特点，为了突出重点，突破难点，培养学生的创新能力我采用演示、讨论、观察、比较、概括等多种方法交叉教学，利用多媒体辅助教学，呈现知识的形成过程，充分调动多种感官参与教学，激发学生学习的兴趣，使数学教学成为学生“探索、发现、再发现、创造”的过程。

学法分析：

教学主要是解决学生的学，“学”是中心，“会”是目的。因此，在教学过程中，我通过创设问题的情境，以激发学生“乐学”；启发诱导，以指导学

生“会学”；变式训练，以引导学生“活学”；引导学生反思自己的分析过程，以指导学生“善学”。使学生通过观察、比较、分析、概括等一系列思维训练，不断提高学习数学的探究意识和创新能力。

教学目标： 1.知识与能力：经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能确定多项式中各项的公因式；会用提公因式法把多项式因式分解；培养学生解决问题的能力。

2.方法与途径：学生通过观察、对比等手段，加强直觉思维，培养观察能力；

在探索过程中，培养学生善于发现问题和解决问题的主动性，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想。

3.情感与评价：通过情境的创设激发学生的内在求知欲；通过有一定梯次的变式训练，锻炼克服困难的意志，发展合作交流的良好品质。

4.现代教学手段：借助多媒体，使学生直观形象地观察、讨论和交流。

教学重点与难点：

教学重点：

（1）学生能确定多项式中各项的公因式；

（2）学生能用提公因式法把多项式分解因式。

教学难点：

正确找出多项式中各项的公因式并能正确确定提公因式后另一个因式。

二、教学准备

多媒体教学课件

三、教学过程

1.问题导入

计算：587×57+587×43 设计意图：引入这一步的目的旨在让学生通过乘法分配律的逆运算（因数分解）这一特殊算法，使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握扫清障碍。

师生活动：学生对于利用乘法的分配律进行逆运算的方法很熟悉，能很快找到这个式子各项有的相同因数587，在提出公因数587后，很快得出这一题的计算结果是58700 。

2.探索发现

多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x²+x呢？多项式mb²+nb-b呢？

结论：多项式各项中都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

设计意图：在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后，再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式。

师生活动：教师提出问题后主要由学生总结，由于有了第一环节的铺垫，再从数过渡到式，学生能很快用类比的方法找到这些式子中相同的因式，知道公因式的概念。

3.新知探究

（一）多项式 8a³b²+12ab³c各项的公因式是什么？

结论：(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

(2)对于相同的字母，取字母的指数最低的；

(3)对于相同的多项式，取多项式的指数最低的；

(4)所有这些因式的乘积即为公因式。

设计意图：由于第二环节提供的几个多项式比较简单，不能反映公因式的全部特征，而通过本环节中寻找多项式8a³b²+12ab³c中各项的公因式，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力，顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力。

师生活动:学生知道每一个多项式都由两部分组成:系数部分与字母部分，因此，有必要将系数部分与字母部分分开讨论。在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后找到这个多项式的公因式。

（二）将以下多项式写成几个因式的乘积的形式

（1）ma+mb （2）3x²+x （3）a²+ab-ac 结论:如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法

设计意图:让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备

师生活动:由于有了因数分解的基础以及对提公因式法的正确理解和运用，学生能较快地从数的分解过渡到字母的因式分解。学生在刚开始可能还是不能够按照正确的步骤去找到一个多项式的公因式，教师应鼓励学生多说明公因式是怎样找到的。

4.例题讲解

例1 把 3x²y+6x³y²+3xy分解因式。

解： 3x²y+6x³y²+3xy = 3xy·x+3xy·2x²y+3xy = 3xy(x+2x²y+1) 注意：提公因式时易犯提后丢项的错误，认为把3xy提出来后，该项就不存在了，实际应为3xy÷3xy＝1。提取公因式后要注意余下的项，提取公因式后的项数与原多项式的项数是一致的。

例2 把 3a²bc³-12abc²+9abc 分解因式。

解： 3a²bc³-12abc²+9abc = 3abc(ac²-4c+3) 注意：提取公因式易犯只提字母，不管系数的错误。提取公因式要从系数与字母两部分来考虑:(1)公因式的系数取各项系数的最大公约数；(2)公因式中的字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取次数最低的。所以各项的公因式是3abc，其中(1)3是3与12和9的最大公约数。(2)a、b、c是各项相同的字母，它们的指数最低都是1，故公因式应为3abc 。

例3 把-10x³-35x²+15x 分解因式。

解： -10x³-35x²+15x = -(10x³+35x²-15x) =-5x(2x²+7x-3) 注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数。在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

5.巩固练习

找出下列各式的公因式，并进行因式分解: (1) 2x²-4x (2) 8m²n+2mn (3) a²x²y-axy² (4) 3x³-3x²+9x (5)

-24x²y-12xy²-28y³ (6)

-4a³b³+6a²b-2ab (7)

-2x²-12xy²+8xy³ (8)

-3ma³+6ma²-12ma 设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌提，以便教师能及时地进行查缺补漏。

6.课堂小结

让学生畅谈本节课的收获

学生积极答出如下内容

①

公因式的定义

②

找公因式的一般步骤:(略) 7.作业布置

A层（选做题）：

（1）(四川自贡中考)把a²-4a因式分解，结果正确的是( ) A. a(a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)(a-2) D.(a-2)²

-4 （2）(浙江嘉兴中考)因式分解: ab-b²

（3）(山东潍坊中考)因式分解:x²-2x+(x-2) B层（必做题）：

教材第96—97页

习题4.2 第1、2、3题

8.板书设计

(3)对于相同的多项式，取多项式的指数最低的；

(4)所有这些因式的乘积即为公因式。

一、公因式

系数: 最大公约数

字母: 各项都有的字母

指数: 相同字母的指数

取其次数最低的

二、提公因式法

(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

(2)对于相同的字母，取字母的指数最低的；

4.2.1 提公因式法

三、例题讲解

例1：

例2：

例3：

四、巩固训练

找出下列各式的公因式，并进行因式分解

四、教学反思

从学生的反馈情况来看，学生对公因式概念的理解基本到位，提取公因式的方法与步骤基本掌提，但依然有部分同学出现对首项出现负号时不能正确处理的情况，因此需要老师进一步引导。在后续多加练习应有所改善。