1.3 一元二次方程的根与系数的关系第二课时 公开课

一元二次方程的根与系数的关系

一、【教材分析】

教

学

目

标

1.理解根系关系的推导过程. 知识

2.掌握一元二次方程的根和系数的关系. 目标

能力

1.能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积 . 目标

2.能灵活运用一元二次方程的根和系数的关系解决一些简单的问题. 情感

体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路

目标

教学

重点

教学

难点

根与系数的关系的推导、运用．

正确归纳、理解、运用根与系数的关系．

二、【教学流程】

教学环节

【探究1】

教学问题设计

师生活动

二次备课

解下列方程，并填写表格：

自

主

探

究

方

程

3x2 - 4x-4=0 2x2 +7x-4=0 通过学生计算一些x1

x2

x1+x2

x1x2

特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一6x2+7 x-3=0

般的思考方法。

学生通过计算、猜想、交流、总结出根与系数的关系：

观察上面的表格，你能得到什么结论？

若x1、x2为方程关于x的方程x2pxq0(p、q为常数，p24q0)

- 1 - x1x2p，

的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与p，q有何关系？请你写出关系式

【探究2】

关于x的方程axbxc0(a0)的两2x1x2q. 可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：根x1+x2与x1·x2与系数a，b，c之间又有何关ax2bxc0(a0)

系呢？你能证明你的猜想吗？

∵a0

bc2

∴xx0

引导学生利用求根公式给出证明。

证明：当△＞0时，由求根根式得：∴22bb4ac ， bb4ac x1x22a2a

∴

aax1x2c. aba，x1x2bb24acbb24acb

从理论上加以验证，让x1x2 2aa学生经历从特殊到一般(b)2(b24ac)4accx1x22

a4a24a

例 1. 求下列方程两根的和与两根的积：

（1）x2＋2x－5＝0；

（2）2x2＋x＝1.

例 2. 已知方程 5x2+kx-6=0的一个根是2，求例它的另一个根及k的值。

题

讲

解

例3. 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和 （2）倒数和

- 2 - 的科学探究过程。

直接应用新知是学

生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标.

学生先独立求解，再让小组交流，然后学生代表展示.比较不同解法，引导学生谈谈有什么启示？

x1、x2，求下列各式的值：

用.

补

11偿

（1）+ （2）x12+x22

提

x1x2已知关于 x 的方程 x2+2（m-2）x+m2+4=0 有高

3、两个实数根，并且这两个根的平方和比两根的积大21。求m的值。

1.小明在一本课外读物中读到如下一段文 字：一元二次方程x2－ x ＝0的两根是 进一步巩固根与系-1和 2 ．

你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项数的关系，体会“整体代系数和常数项吗？

入”思想在解题中的运22.若一元二次方程x-4 x+2=0的两根是用，可起到简便运算的作

对内容的升华理解认识

1、这节课我们学习了什么知识？有何作

学生独立思考，师生梳理本课的知识点及方法

1．如果一元二次方程2ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．

2 2．如果方程x+px+q=02（p、q为已知常数，p－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1） . 注意：根与系数的关系使用的前提条件____________________.

2、运用本节课所学知识解决问题时要注意

些什么？

3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？

运用了哪些数学思想？

小

结

用？

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教师布置作业，并提出要求. 1.教科书课后练习.

学生课下独立完成，延续2.教科书习题

课堂.

选作：

作

1.已知两个数的和等于8，积等于9，求这

考察学生灵活运用业

知识解决问题能力，让学两个数？

生感受到根与系数的关2 2.若一元二次方程x+ax+2=0的两根满足：系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密22x1+x2=12，求a的值.

性.

必做：

三、【板书设计】

一元二次方程的根与系数的关系

1、对于ax2bxc0(a0)的方程，若b24ac0，两根为x1，x2. 那么x1x2bc，x1x2. aa2、根与系数关系使用的前提是：

（1）是一元二次方程，即a0. （2）方程为一般形式。即形如：ax2bxc0. （3）判别式大于等于零，即b24ac0.

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