小结与思考优秀教学设计

《一元二次方程小结与思考（1）》教学设计

苏州市相城区北桥中学 葛善成

教学内容：苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程》小结与思考

教材分析：一元二次方程是方程在一元一次方程基础上

“次”的推广，是以前所学知识的延续和深化，是解决诸多实际问题的需要，同时为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是学习二次函数的基础.与一元一次方程、二元一次方程组相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解。这也是培养学生全局意识和思维敏捷性、灵活性和深刻性等思维品质的机会。

学情分析：

1.从认知基础的角度，本节课是一元二次方程的复习课，对于本章的基础知识，学生已大致掌握.本节课以梳理、巩固基础知识为起点，重点解决在学生中存在的易错点与混淆点；

2.从学生的年龄心理特点的角度，刚刚升入初三年级的同学熟悉学校的环境和身边的同学，对最后一年的初中生活抱有较高期待和信心.我所任教的班级学生有较强的学习积极性，思维活跃，喜欢思辨，具备一定的自主探究意识.

教学目标: 1.了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；

2.通过小组合作学习，经历一题多解等过程，发展学生多角度思考问题的方法.

3.通过对方程的认识、一题多解的思维展示，发展学生勇于展示自己的品质；

4.在解决富有挑战性的问题的过程中，培养学生敢于直面困难、勇于挑战的良好品质，鼓励学生大胆尝试，体会成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣. 教学方法：遵循以“学生为主体，教师为主导，数学活动为主线”的指导思想，主要采用启发式教学和自主探究的教学方法

教学过程：

一、典例变式，深化理解

例1

下列方程中，哪些是一元二次方程？为什么？

（1）3x2+7=0；

（2）ax2+bx+c=0; (3)(x-2)(x+5)=x2-1;

(4)

1

变式

若关于x的方程

是一元二次方程，试求t的值.

设计意图：这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征（即只含有一个未知数、未知数的最高次数是2、整式方程）的理解.进一步加深学生对定义的掌握。此环节采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.

例题中（1）是一元二次方程；（2）当a≠0时是一元二次方程；（3）化成一般式为3x-9=0，是一元一次方程；（4）不是整式方程。

总结：判断一个方程是否是一元二次方程的基本方法是依据一元二次方程的定义进行判断，但判断前需要将方程整理成一般式。

变式结合字母系数,加大题目难度,提高学生对概念的理解能力.题目要满足两个条件：

且t+2≠0，所以t=2.

例2

选择适当的方法解下列方程：

（1）2（x-1）2=6

（2）x（x+5）=24

设计意图：选择两个典型的一元二次方程，目的在于让学生灵活掌握方程的解法。可让学生尝试用尽量多的方法解同一个一元二次方程，并对不同方法进行比较、评价。

解一元二次方程的基本思想是通过“降幂”，把它化为两个一元一次方程.一元二次方程的基本解法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，具体如下表：

方法

直接开平方法

配方法

公式法

适合方程类型

（

）

注意事项

时有解，

时无解

二次项系数不为1，先把系数化为1，在进行配方.

时，方程有解；

时，方程无解.先化为一般式再用公式.

方程的一边为0，另一边为两个一次因式的积. 因式分解法

变式

请在下列的横线处填入一个整式，使它分别最适合用直接开平方法、因式分解法、

配方法、公式法求解.

x26x11111102

预设问题：

方法：

直接开平方法

方程：

6x=0

配方法

6=0

-9=0 ……

公式法

6=0

-9=0 ……

因式分解法

9=0

（x-6）=0 ……

2例3

已知一元二次方程

x



4

x



k



0

，添加适当的条件编写题目，并解答。

条件1：

解答1：

条件2：

解答2：

条件3：

解答3：

设计意图：例题要具有代表性、突出重点知识、体现数学思想方法。题目过易达不到训练目的，过难学生无法解决。本题为开放性问题，不同层次的学生可能会提出不同层次的问题，由浅入深，循序渐进，培养学生探索的积极性。对于学生提出的问题，不失时机地概括编题思路和解题时运用到的知识点。

预设问题：（1）方程有两个相等的实数根，求k的值；

（2）方程有一根为1，求方程的另一个根；

（3）方程两根的比为1:2，求k的值.

变式

已知一元二次方程

kx

2

0

，添加适当的条件编写题目，并解答。



4x

1



设计意图：字母k的位置由常数项移到二次项上，通过辨析，要注意二次项系数是否为0的情况。引导学生学会从不同的角度、不同的形式提出问题。达到举一反三，触类旁通的效果。

编题思路：（1）从根的判别式的角度；

（2）从一元二次方程的解的角度；

（3）从根与系数关系的角度。

二、知识梳理，自主构建

活动

结合上面提出的问题，回忆本章学习内容，制作一元二次方程知识结构图。

3

设计意图：复习的过程不应是对已学知识的简单重复和强化，而是一个再学习、再认识，提高理解能力和运用能力的过程。在教学中要重视充分调动学生的主观能动性，自主完成知识梳理。引导学生根据知识点、规律和方法之间的相互联系科学建构，突出知识点之间的逻辑关系和结构层次，避免搞成知识点的罗列再现。在学生完成后，要让学生自由的发表见解，在学生间引起辩论、评价。让学生从更高的角度审视知识体系和方法体系，提高复习效益。

预设：

三、课堂练习，反馈调节

21.(2018苏州.第13题.3分)若关于x的一元二次方程xmx2n0有一个根是2，在mn

. 22.(2017苏州.第4题.3分)关于x的一元二次方程x2xk0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）

A．1

B．1

C.2

D．2

223.(2018扬州.第8题.3分)若m是方程2x3x10的一个根，则6m9m2015的值为

．

24.(2018扬州.第16题.3分)关于x的方程mx2x30有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是

．

x2是一元二次方程x2mx60的两个根，5.(2018南京.第12题.3分)设x1、且x1x2=1，则x1

，x2

．

4

四、自我小结，完善结构

我知道了

；

我学会了

；

我发现了

。

……

设计意图：以造句的形式，让学生总结知识规律，进一步加深理解；总结答题规范和方法技巧，提高应用水平；总结学习方法，进一步反思和调整自己，以便更加有效的学习。

五、课后作业，巩固提高

1．本节课中涉及的所有题目在课下进行分类整理，留作资料；

2．针对自己对本章的理解，每名同学命制一份试卷，要求时间在60分钟左右，重点突出，难度适宜，并配有答案（此作业不要求第二天必须上交，给学生一定的收集资料时间）.

教后反思：

作为一章的复习课，本节课的课堂容量相对来说不大，但内容全面细致，重点突出，

学生讨论时间较为充裕。通过课堂知识结构的整理、课堂展示讲解的过程，为学生提供展示自己的机会，更利于教师在此过程中发现学生的闪光点以及思维的误区，以便指导今后的教学.

此外，学生的学习合作小组应该是动态的，所学知识的不同，学生的反应也不相同，在分组时，应该将思维形态类似的同学放在一组，这样，可以避免让一些思维活跃的学生代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问.同时，教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.

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