3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优秀公开课教案

第三章第一节空间向量的正交分解及其坐标表示

设计者：李梅霞 审核者： 执教： 使用时间：

学习目标

1．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

2.了解空间向量基本定理及其意义. ________________________________________________________________________________ 自学探究 问题1. 平面向量基本定理的基本内容是什么? 请作图并解释。

问题2. 平面向量的坐标表示是怎样规定？请作图并解释。

问题3. 对空间的任意向量a，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？

【思维导航】

(1)对空间的任意向量p，能否用空间中三个不共面的向量a,b,c来唯一表示，为什么？这三个向量叫什么？

(2)如果空间向量a,b,c是三个互相垂直的单位向量，那么空间向量ppxaybzc中x,y,z叫什么？这种分解叫什么分解？

(3)若把上面空间向量a,b,c分别放在为 x轴、y轴、z轴的正方向，则得到的有序实数组叫什么？

(4)设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝ .

【试试】

(1)设a2ij3k，则向量a的坐标为 . (2)若A(1,0,2)，B(3,1,1)，则AB＝ . 【技能提炼】

1. 已知向量a,b,c是空间的一个基底，从向量a,b,c中选哪一个向量，一定可以与向量pab,

qab构成空间的另一个基底？

【变式】已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？

【思考】判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是什么?

2.

如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三

等分点，用OA,OB,OC

表示OP和OQ.

【变式】：已知平行六面体OABCO'A'B'C'，点G是侧面BB'C'C的中心，且OAa，OCb,OO'c，试用向量a,b,c表示下列向量: (1)OB',BA',CA'; ⑵

OG.

教师问题创生

学生问题发现

变式反馈

*1. 以下四个命题中正确的是(

) A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量

→→C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

OBijk，则点B的坐标是 3. 正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为2，以A为坐标原点，以AB,AD,AA'为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 . *4. 已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为________．

2. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且