2.3 抛物线（通用）课件配套优秀教案设计

2.3.1抛物线及其标准方程

一、教学目标

1.知识与技能：

(1) 理解抛物线的概念。

(2) 熟练掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程。

2.过程与方法：

理解抛物线的定义。明确焦点、焦距的概念。通过动手推导、例题教学让学生熟练掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件确定抛物线的标准方程。

3.情感、态度与价值观：

(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； (2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。 二、教学重点与难点

重点：抛物线的定义和标准方程

难点：抛物线标准方程的推导

三、教学过程

一、创设情景、引入课题

1、回忆前面学习的内容，说一说椭圆与双曲线的相关知识？

2、同学们对抛物线已有了哪些认识？

3、通过预习观看微课，完成教材P57“思考”部分。

4、通过flash动画讲解抛物线的定义，推导抛物线的方程。

二、知识梳理

（一）抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫______.点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的_____。

【答案】

抛物线

焦点

准线

预习检测

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)并非所有二次函数的图象都是抛物线.(

) (2)抛物线是双曲线的一支.(

) (3)若定点在定直线上，则到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是一条线.(

) 【答案】

(1)×

(2)×

(3)√

（二）抛物线的标准方程

通过预习观看微课，完成教材P58“思考”以下部分。

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

y2＝2px(p>0)

y2＝－2px(p>0) ________ ________

x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0) ________ ________

pppp【答案】

，0

x＝－ －，0

x＝

2222pppp

0， y＝－ 0，－

y＝

2222预习检测

1.抛物线x＝4y2的准线方程是(

) 111A.y＝

B.y＝－1 C.x＝－ D.x＝

21681122【解析】

由x＝4y得y＝x，故准线方程为x＝－. 416【答案】

C 2.抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(

) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】

由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4. 【答案】

C 三、分组讨论，小组合作

1、求抛物线的标准方程

例1、求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点M(－6,6)；

(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上；

(3)焦点到准线的距离是4. 【点拨】(1)过点M(－6,6)的抛物线有几种情况？

(2)所求抛物线的焦点是什么，有几种情况？

(3)由焦点位置判断有几种情况？

【解答】

(1)由于点M(－6,6)在第二象限，

∴过M的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p>0)，

将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，

________ ________ ________ ________

∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，

将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，

∴抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. (2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，

p∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴＝2，∴p＝4，

2∴抛物线的标准方程是y2＝8x. ②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，

p即抛物线的焦点是F(0，－3)，∴＝3，∴p＝6，

22∴抛物线的标准方程是x＝－12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y. (3)焦点到准线距离p＝4，焦点可在x，y轴上，故有四种情况，标准方程为y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y. 2、抛物线定义的应用

例2、已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标. 【点拨】

利用抛物线的定义，把|PF|转化成到准线的距离. 【解答】

如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，

则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，

当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号. ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5. 此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1，

∴P(1,2). 四、课堂回馈，评价落实

21.准线方程为y＝的抛物线的标准方程为(

) 38888A.x2＝y B.x2＝－y C.y2＝－x D.y2＝x 33332p24【解析】

由准线方程为y＝知抛物线焦点在y轴负半轴上，且＝，则p＝.32338故所求抛物线的标准方程为x2＝－y. 3【答案】

B x2y22.以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是_____. 169

x2y2【解析】

由双曲线－＝1，得抛物线的焦点坐标为(4,0)，

169故可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，

p所以＝4，即p＝8，抛物线方程为y2＝16x. 2【答案】

y2＝16x 3.根据下列条件确定抛物线的标准方程. (1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；

(2)过点(4，－8)；

(3)焦点在x－2y－4＝0上. 【解】

(1)法一

设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，将点(－1，－3)代入11方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝，所以所求抛物线方程为x2＝－y. 63法二

由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0).1又抛物线过点(－1，－3)，所以1＝m·(－3)，即m＝－，所以所求抛物线方程31为x2＝－y. 3(2)法一

设所求抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，将点(4，－8)代入y2＝2px，得p＝8；将点(4，－8)代入x2＝－2py，得p＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y. 法二

当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；

2当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y. 综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y. x＝0，x＝0，(3)由得

x－2y－4＝0，y＝－2，

y＝0，由x－2y－4＝0，

y＝0，得x＝4.

所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0). p当焦点为(0，－2)时，由＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y；当2p焦点为(4,0)时，由＝4，得p＝8，所以所求抛物线方程为y2＝16x. 2综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x. 4.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(

)

179A.

B.3 C.5 D.

22【解析】

由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可得，

1∴点P到准线x＝－的距离d＝|PF|，

2易知点A(0,2)在抛物线y2＝2x的外部，

连接AF，交y2＝2x于点P′，

欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，

1712∴其最小值为|AF|＝0-2-0

＝

22五、作业

课本59页，练习1,2,3。

2