习题2.4课件配套优秀获奖教案

抛物线复习

1．抛物线定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y2＝2px(p＞0)

y2＝－2px(p＞0) 图形

范围

对称轴

顶点坐标

焦点坐标

准线方程

离心率

标准方程

x2＝2py(p＞0)

x2＝－2py(p＞0) x≥0，y∈R

x轴

原点O(0,0)

x≤0，y∈R

p，0

2px＝－

2e＝1 －p，0

2px＝

2图形

范围

对称轴

顶点坐标

焦点坐标

准线方程

离心率

1．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是(

) y≥0，x∈R

y轴

原点O(0,0) y≤0，x∈R

0，p

2py＝－

2e＝1 0，－p

2py＝

2

1

A．x2＝－12y

B．x2＝12y

C．y2＝－12x

D．y2＝12x

p解析：选A

∵＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y. 22．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是(

) 1A.

8

1B．－

8D．－8 C．8

1解析：选B

抛物线的标准方程为x2＝y. a11则a＜0且2＝－，得a＝－. 4a83．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为(

) A．4

C．10

B．6 D．16 解析：选D

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点F(0，1)，准线方程是y＝－1，y＝3x＋1，直线l：y＝3x＋1，由2消去x得y2－14y＋1＝0，y1＋y2＝14，|AB|＝|AF|＋|BF|x＝4y，＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1＋y2)＋2＝16. 4．已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a＞0)的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．

aa解析：依题意得，|OF|＝，又直线l的斜率为2，可知|AO|＝2|OF|＝，△AOF的面积421a2等于·|AO|·|OF|＝＝4，则a2＝64.又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y2＝8x. 216答案：y2＝8x

5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．

解析：其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，则P点横坐标xP＝4，由定p义知|PF|＝xP＋＝6. 2答案：6 p1.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛2物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．

2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．

2

3．由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可．

抛物线的定义及应用

[例1]

(1)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(

) 3A.

45C.

4

B．1 7D.

4(2)在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(

) A．(－2,1)

C．(2,1)

B．(1,2) D．(－1,2) [自主解答]

(1)如图，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，3315|CD|＝，所以中点C的横坐标为－＝. 2244(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)．

[答案]

(1)C

(2)B

涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．

1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________. 解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2. 将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝22，

∴A(2,22)，∴直线AF的方程为y＝22(x－1)．

3

1x＝2，y＝22x－1，x＝2，又2解得或

y＝4x，y＝22.y＝－2，

1，－2，

由图知，点B的坐标为213∴|BF|＝－(－1)＝. 223答案：

2抛物线的标准方程及几何性质

x2y2[例2]

(1)已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py (p>0)ab的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(

) 83A．x2＝y

3C．x2＝8y

163B．x2＝y

3D．x2＝16y

(2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(

) A．22

C．4

B．23 D．25 a2＋b2x2y2c[自主解答]

(1)∵双曲线C1：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，abaa∴b＝3a，

p0，到双曲∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点2p3×0±22＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y. 线的渐近线的距离为p(2)依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)，则有2＋＝3，得p＝2，故抛物线方程是2y2＝4x，点M的坐标是(2，±22)，|OM|＝22＋8＝23. [答案]

(1)D

(2)B 1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式．

2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．

2．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝

3|MN|，则∠NMF＝________.(

) 24

解析：过N作准线的垂线，垂足为H，则|NF|＝|NH|＝如图．∴cos ∠MNH＝3，

23|MN|，2ππ∴∠MNH＝，∴∠NMF＝. 66π答案：

6

直线与抛物线的位置关系

[例3]

如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．

(1)求抛物线E的方程；

(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

[自主解答]

(1)依题意，|OB|＝83，∠BOy＝30°. 设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝43，y＝|OB|cos 30°＝12. 因为点B(43，12)在x2＝2py上，所以(43)2＝2p×12，解得p＝2. 故抛物线E的方程为x2＝4y. 11(2)证明：由(1)知y＝x2，y′＝x. 421设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x2，且l的方程为

40111y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x2. 224011x－4x＝0，y＝2x0x－4x20，2x0由得

y＝－1，y＝－1.x0－4所以Q为，－1. 2x01设M(0，y1)，令MP·MQ＝0对满足y0＝4x20(x0≠0)的x0，y0恒成立．

x0－4由于MP＝(x0，y0－y1)，MQ＝，－1－y1，

2x0x20－4由MP·MQ＝0，得2－y0－y0y1＋y1＋y21＝0，

2即(y1＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*) 22

2

5

1由于(*)式对满足y0＝x2(x≠0)的y0恒成立，

4001－y1＝0，所以2解得y1＝1. y1＋y1－2＝0，

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．

1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0. (1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；

当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；

当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．

(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．

2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据) p2(1)y1y2＝－p，x1x2＝. 422p(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2(θ为AB的倾斜角)．

sinθp2(3)S△AOB＝(θ为AB的倾斜角)．

2sinθ112(4)＋为定值. |AF||BF|p(5)以AB为直径的圆与准线相切．

(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

(7)∠CFD＝90°. 3．如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F. 1(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；

2(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．

解：(1)抛物线的焦点F(1,0)，

当直线l的斜率不存在时，即x＝1不符合题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. 所以，|－k|13＝，解得k＝±. 31＋k223故直线l的方程为：y＝±(x－1)，即x±3y－1＝0. 3(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：

6

设A(x0，y0)，则y20＝4x0. 因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．

所以直线AB的方程为：y＝2x0y整理得：x＝－x0①

y0把方程①代入y2＝4x得：y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，

y0(x＋x0)，

2x0Δ＝64x20－16x0y20＝64x20－64x20＝0，

所以直线AB与抛物线相切．

7