3.1.3 导数的几何意义教案教学设计导入整理

3.2.3导数的几何意义教学设计

广州市第二十一中学

王萍

一、学情分析

学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是对于导数在研究函数性质中有什么作用还不够理解，多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以下困难，比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法，理解导数就是曲线上某点的斜率等等。

二、教学目标

1、知识与技能: 通过实验探求和理解导数的几何意义；

体会导数在刻画函数性质中的作用；体会“以直代曲”的数学思想方法。

2、过程与方法：

培养学生分析、抽象、概括等思维能力；

通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

3、情感态度与价值观：渗透逼近和“以直代曲”思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力学生学数学，用数学的意识。

三、教学重点与难点

教学重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数“形结合、以直代曲”的思想方法。

教学难点：1)发现和理解导数的几何意义；

2)运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题。

四、教法与学法

教法：1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性研究教学、互动式讨论、反馈式评论和启发式小结；

2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持，同时也为了培养学生的动手操作能力，所以采用计算机辅助教学，以突出重点和突破难点；

学法：自主、合作、探究

五、教学过程

1.回顾旧知、引出研究的问题：

前面我们学习了函数在xx0处的导数f(x0)就是函数在该点处的瞬时变化率。那么：问：(1) 求导数f(x0)．．．．．的步骤有哪几步?

(2)观察函数yf(x)的图象，平均变化率yfx0xf(x0)

在图形中表示什么？

xx

这就是平均变化率()的几何意义，那么瞬时变化率(lim)在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导．．．．．．．．．．．x0xx．数的几何意义。

设计目的：提出问题，老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，承上启下，复习旧知，引入新课。

2.动画类比，得到切线的新定义

要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究x0，割线的变化趋势，看下面的动画。多媒体显示．．．．．．．【动画1】：圆上点A处的切线AT和割线AB，演示点B从右边沿着圆逼近点A ,然后再从左边沿着圆逼近点A ，即x0，割线AB的变化趋势。（教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？）把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线，可得：多媒体显示【动画2】：动态演示（或投影）教材上点（P7）Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势图。

图

yy师：类比【动画1】，当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，即x0，研究割线PPn的变化趋势。

突破研究的难点：x0，割线PPn点P处的切线，那么：x0，割线的斜率？与导数f(x0)又有何关系呢？

设计目的：以求导数的两个步骤为依据，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住x0的联．．．．．．．．．．．系，在图形上从割线入手来研究问题。带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线，学生更易感

知当x0，割线的变化趋势。

3.数形结合，探究导数的几何意义

结合【动画2】的变化过程，学生思考下面的问题，探究导数的几何意义。

探究一1.已知曲线上两点P(x0,f(x0)),Pn(x0x,f(x0x))：

(1)根据切线定义可知：x0，割线PPn趋近于切线PT

。那么割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k又有何关系？

(2)对比“x0时，平均变化率趋近的确定常数就是瞬时变化率”，又割线的斜率对应平均变化率，那么切线的斜率对应什么？

2.结合上面的研究过程，你能指出导数f(x0)的几何意义吗？

y y=f(x) Q 割线

T 切P

o 线

x

设计目的：类比两个动画，探索一般曲线中的切线定义，让不同程度的学生都能借助直观的图象感知和发现，得出：x0，割线逼近该点处的切线

4.获得导数的几何意义

活动后，展示学生探究成果，教师重点讲评：

割线PPn的斜率是knf(x0x)f(x0), (x0x)x0x0k当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率，即

klimPT的斜率k即为函数在xx0处的导数。

导数的几何意义：

f(x0x)f(x0)f(x0)，切线xf/x0limx0fx0xf(x0)＝切线的斜率。所以，函数f(x)在xx0处的导数fx/x0的几何意义就是函数

f(x)的图像在xx0处的切线AD的斜率。

师：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？

5.导数几何意义的应用

例1：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象。

探究二

1.用图形来体现导数h/(1)3.3，h/(0.5)1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。

2．变式（如图）：请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？

分析：附近：瞬时、增减、变化率，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。可借助切线的变化趋势得．．．．．到导数的情况。

小结：附近：瞬时，增减：变化率，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。导数的正负即对应函数的．．．．．增减。作出该点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负，就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性。

例题变式1：函数y3x2上有一点(x0,y0)，求该点处的导数f(x0)，并由此解释函数的增减情况

解：f(x0)limf(x0x)f(x0)x0x

3(x0x)2(3x02)lim3x0x函数在定义域上任意点处的瞬时变化率都是3，函数在定义域内单调递增。(此时任意点处的切线就是直线本身，斜率就是变化率) 例题变式2：下图是函数yf(x)的图象，请回答下面的问题：

探究三

请指出函数的单调区间，并用导数的几何意义说明。

根据上题的结论，研究某点处的导数值、切线的斜率和函数的单调性之间有何关系？

例2 如图表示人体血管中的药物浓度cf(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)

t

药物浓度的

瞬时变化率

0.2

0.4

0.6

0.8

小结：导数反映了函数的变化率，从图形上来看，表现为切线的斜率，如果导数为正，则切线的斜率为正，切线呈上升趋势，曲线在该点附近也是上升趋势，函数单调增；如果导数为负，则切线的斜率为负，切线呈现为下降趋势，曲线在该点附近也是下降趋势，函数单调减。

例3、求抛物线yx

过点（1，1）的切线方程。

2f(1x)f(1)(1x)21limlim(2x)2 所以抛物线yx2

过点（1，1）的切线的斜率解：因为f(1)limx0x0x0xx为2，由直线方程的点斜式，得切线方程为y12(x1)练习:求双曲线y

设计目的：

要求学生动脑(审题),动手(画切线)，动口(讨论)，体会利用导数的几何意义及运用导数来研究函数在某点附近的单调性，渗透“数形结合”的思想方法，运用以直代曲的思想方法。问题1由具体的导数入手，熟悉导数的几何意义，帮助学生感知导数与函数单调性之间的联系。

问题2引导学生感知导数反映变化率的本质。运用导数的几何意义，借由切线的变化趋势，得出切线的斜率即该点处的导数的情况，进而判断函数的单调性。

课堂反馈练习：

1、曲线yxx2在点P处的切线平行于直线y4x1，则此切线方程为

2、y3即y2x1。

11过点（2，）的切线方程。

x212x在点（4，4）处的切线方程为

4

3、垂直于直线2x6y10且与曲线yx33x21相切的直线方程为

4、曲线y137x2在点(1,)处切线的倾斜角为

335、曲线f(x)x3在某点切线的斜率等于3，则.此点坐标为

17x在点P(4,)处的切线方程为

x447、已知曲线y在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为17，则直线l的方程为

x6、曲线y8、已知yax2bxc通过点(1,1)且在点(2,1)处切线与直线yx3平行，则a

b

；c

9、曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线方程为

10、直线ykx1与曲线yx3axb相切于A(1,3)，则b

11、偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图象过点P(0,1)且在x1处的切线方程为yx2，则f(x)

设计目的：学生自选和老师指导相结合，学生根据自己的学习情况可以选择适合自己发展的题进行训练，以得到更好地发展。提倡跳跃式选题训练和抓住关键部分进行局部训练，使学生可以避免重复、无效的练习。通过练习及时发现学生的问题，及时纠正，能够对学生情况给予及时评价。