二、圆锥曲线的离心率与统一方程教案设计（一等奖）

圆锥曲线的离心率问题

一、复习目标：

1.巩固圆锥曲线离心率求值（或范围）的基本方法；

2.体会数形结合、等价转化等重要的数学思想；

3.提高运算能力、增强分析和解决问题的能力. 重点：掌握圆锥曲线离心率求值的常用方法并能熟练准确求解. 难点：通过合理选择构造不等关系，求圆锥曲线离心率范围. 二、必备技能

图形

椭圆

双曲线

定义

离心率

焦点三角形面积

通径

渐近线

三、课前热身

1.已知双曲线

y23x23

，则双曲线的离心率为________.

2.已知椭圆的方程为

2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为________.

1

3.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于__________.

4.设双曲线的渐进线方程为2x3y0，则双曲线的离心率为 .

四、例题讲解：

（一）直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式ec来解决。

ax2y2例1：已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，4BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝5，则C的离心率e＝________. 2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P是C1与C2的一个公共点，PF1F2是以一个以PF1为底的等腰三角形，PF14,C1的离心率为A．2 B．3 C．23 D．6

3，则C2的离心率是（ ）

7x2y21，若焦距为4，则椭圆的离心率为______.

3.已知椭圆10mm2思考：如何求解a,c的值？

（二）构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

例2:直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，椭圆中心到l的距离为其短轴长的1，则该椭圆的4离心率为________.

2.设双曲线C:2在右支上)，使得______ C上存在关于y轴对称的两点P,Q(P的左、右焦点为F1、F2，xy221(a0,b0)2abPQ2PF22PF1,

O为坐标原点，且三角形POQ为正三角形，则离心率为x2y23.已知椭圆22=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A,B,左右焦点分别为F1，F2且在线ab段AB上有且仅有一点P使得PF1PF2,则椭圆的离心率为________. 思考：从哪些方面考虑建立a,b,c间的等量关系？

2.

由垂直联想到的知识

（三）离心率的范围

2

例3：若椭圆x2率范围？

y2=1（a＞b＞0）上存在点P，使得

F1PF290,椭圆的离心22ab

变式1：若有且仅有两个点，离心率的范围？

变式2：若P在椭圆内，离心率的范围？

x2y22.双曲线221(a0,b0)的两个焦点为F1,F2，若P为其上一点，|PF1|2|PF2|，ab则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,3] C.(3,) D.[3,)

3.斜率为2的直线过中心在原点且焦点在x轴上的双曲线的右焦点，与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.e

2 B.1e3 C.1e5 D.e5

五、巩固训练

1x2y21．若P是以F1，F2为焦点的椭圆22=1（a＞b＞0）上的一点，且PF=0，tan∠PFF=，PF12122ab则此椭圆的离心率为（ ）

A．1152 B． C． D．

32332 y22．若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x+ =1的离心率是（ ）

mA.32 B.5 C.32或52 D.32或5

x2y2x2y23．设F1、F2分别为椭圆C1:221(ab0)与双曲线C2:221(a10,b10)的公共焦a1b1ab点,它们在第一象限内交于点M,F1MF290,若椭圆的离心率e=3,则双曲线C2的离心率4

3

e1的取值为（ ）

32935A. B. C. D.

2224x2y24．已知双曲线C:221a0,b0的右焦点为Fc,0，直线xa与双曲线C的渐近ab线在第一象限的交点为A,O为坐标原点．若OAF的面积为a，则双曲线C的离心率为（ ）

132A．2332 B．

3213

3C．2 D．x2y25．设双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半ab径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A，B两点，若|F1B|3|F2A|，则该双曲线的离心率是（ ）

A.543 B. C. D.2

432x2y26．已知双曲线C:221a0,b0的右焦点F和A0,b的连线与C的一条渐近线相交ab于点P，且PF2AP，则双曲线C的离心率为（ ）

A．3 B．3 C．4 D．2

x2y27．双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2，过F1作倾斜角为45°的直线交ab双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ）

A．2 B．3 C．12 D．13

x2y28．已知双曲线221(a0，b0)与抛物线y28x有一个公共的焦点F，且两曲线的一ab个交点为P，若|PF|5，则双曲线的离心率为（ ）

4

A．2 B．22 C．6 D．51

2x2y2a0，b0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在9．设F1，F2是双曲线221（ab一点P，使(OPOF2)F2P0（O为坐标原点），且|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率为（ ）

A．31 B．21 C．3121 D．

22

5