习题2.4名师教学设计

教学设计

选修2-1

课题

2.4.1抛物线及其标准方程

单位:安顺经济技术开发区高级自习

授课教师:江正秋

授课班级:高二(3)班

2.4.1抛物线及其标准方程

教学目标

1.知识与技能

掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线．

2．过程与方法

掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．提高学生观察、类比、分析和概括的能力．

3．情感、态度与价值观

通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．

教学重点：(1)抛物线的定义及焦点、准线；

(2)抛物线的四种标准方程和p的几何意义．

教学难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．

以多媒体课件为依托，课件可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能够在动态演示过程中化解教学难点，突出教学重点．

抛物线的定义

问题导思

图2－4－1 如图2－4－1，把一根直尺固定在图板内直线l的位置，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，再把一条绳子的一端固定于三角板的另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔描出一条曲线，思考下面两个问题：

1．笔尖(设为动点M)在运动过程中满足的条件是什么？

【答案】

笔尖到直线l的距离和到定点F的距离相等．

2．此曲线是否为椭圆或一支双曲线？为什么？如果不是，猜想它是什么？

【答案】

不是，因为它不满足椭圆或双曲线的定义，抛物线．

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 抛物线的标准方程

问题导思

抛物线的开口方向不同，所对应的方程不同，抛物线有几种不同形式的方程？

【答案】

随开口方向的不同，抛物线有四种形式的方程．

图形

标准方程

y2＝2px

(p>0)

y2＝－2px

(p>0)

焦点坐标

p(，0)

2准线方程

px＝－

2p(－，0)

2px＝

2x2＝2py

(p>0)

x2＝－2py

例题解析

(p>0)

p(0，)

2py＝－

2p(0，－)

2py＝

2例1：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程．

(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程. （,0）解:(1)因为p＝3，故抛物线的焦点坐标为，

3x.

准线方程为2(2)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且32p2,p4,故所求抛物线的标准方程为x2=-8y. 2

变式训练

求满足下列条件的抛物线的标准方程．

(1)过点M(－6,6)；

(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．

【思路探究】

(1)过点M(－6,6)的抛物线有几种情况？

(2)所求抛物线的焦点是什么？有几种情况？

【自主解答】

(1)由于点M(－6,6)在第二象限，

∴过M的抛物线开口向左或开口向上．

若抛物线开口向左，焦点在x轴上，

设其方程为y2＝－2px(p>0)，

将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，

∴p＝3. ∴抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，

将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，

∴抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. (2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，

∴抛物线的焦点是F(2,0)，

p∴＝2，∴p＝4，

2∴抛物线的标准方程是y2＝8x. ②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，

即抛物线的焦点是F(0，－3)，

p∴＝3，∴p＝6，

2∴抛物线的标准方程是x2＝－12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.

规律方法

1．求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型；

(2)求参数p的值；

(3)确定抛物线的标准方程．

2．当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．

例2一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.

解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合. 设抛物线的标准方程是y22px(p0),

由已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4），代入方程得

2.422p0.5,,即p=5.76.

所以，所求抛物线的标准方程是y211.52x,

焦点坐标是（2.88，0）.

变式训练

河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽43米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，4小船开始不能通航？

解：

如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入8方程得p＝，

516∴抛物线方程为x2＝－y. 5∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．

设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，

165由22＝－yA，得yA＝－. 5433又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即44水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．

规律方法

1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．

2．以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程．(2)利用已求方程求点的坐标．

课堂小结

1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题．

2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p的值)”的程序求解. 当堂达标训练

1．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是(

) A．抛物线

B．线段

C．直线

D．射线

【解析】

动点P的条件满足抛物线的定义．

【答案】

A 2．抛物线x2＝－16y的焦点坐标是(

) A．(0，－4)

B．(0,4)

C．(4,0)

D．(－4,0)

pp【解析】

＝4，焦点在y轴上，开口向下，焦点坐标应为(0，－)，即(0，－4)．

22【答案】

A 3．抛物线y＝2x2的准线方程为________．

1p1【解析】

化方程为标准方程形式为x2＝y，故＝，开口向上，∴准线方程为y＝－2281. 81【答案】

y＝－

84．抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．

p解

设焦点为F(－，0)，

2M点到准线的距离为d，

则d＝|MF|＝10，

p即9＋＝10，

2∴p＝2，

∴抛物线方程为y2＝－4x. 将M(－9，y)代入抛物线的方程，

得y＝±6. ∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．

如图2－4－2所示，

图2－4－2 5.

水池中央有一喷泉，水管的长|O′P|＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线的形状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，点P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到个位) 解：如图所示，建立平面直角坐标系．

设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．

1由题意得P(－1，－1)，∴p＝，

2

故抛物线的方程为x2＝－y. 设B(x，－2)，则x＝2，∴|O′B|＝1＋2. ∴水池的直径为2(1＋2)≈5(m)，即水池的直径至少应设计为5 m.