习题2.4精品学案

椭圆、双曲线、抛物线

教学目标：

1．理解椭圆、双曲线的第一定义及椭圆、双曲线和抛物线的统一定义，并能利用定义求出与圆锥曲线有关的量，也能利用定义求出圆锥曲线方程．

2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及相应图象，并掌握相应的性质：图形范围、对称性、顶点、长轴、短轴、实轴、虚轴、焦距、焦点、离心率、准线、渐近线．

重点难点：

重点：熟练掌握圆锥曲线的标准方程及相应的图形和性质，特别要注意形与数的一一对应．

掌握圆锥曲线的定义，能在已知条件合适时，自觉地想到利用定义求圆锥曲线方程，或利用定义求圆锥曲线有关的量．

难点：在于不易利用平面几何知识选择最简便的方法去解决问题．解析几何固然是用代数方法研究几何问题，但毕竟它仍是几何问题，因而几何图形原有的性质也不能抛弃不用．

教学过程：

(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：

椭圆第一定义：平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1PF22aF1F2) , 这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：①若(PF1PF2F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2；

②若(PF1PF2F1F2)，则动点P的轨迹无图形

(二)椭圆的简单几何性质：

标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

x2y21ab0

a2b2y2x21ab0

a2b2第一定义

第二定义

范围

到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a，即|MF1||MF2|2a（2a|F1F2|）

与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即MFe(0e1)

dbxb且aya

axa且byb

1a,0、2a,0

顶点

10,a、20,a

10,b、20,b

轴长

对称性

焦点

1b,0、2b,0

长轴的长2a 短轴的长2b 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

F1c,0、F2c,0

F10,c、F20,c

焦距

F1F22c(c2a2b2)

cc2a2b2b2e12aa2a2aa2x

c左焦半径：MF1aex0

右焦半径：MF2aex0

离心率

(0e1) a2y

c准线方程

焦半径

下焦半径：MF1aey0

上焦半径：MF2aey0

M(x0,y0)

焦点三角形面积

SMF1F2b2tan2(F1MF2)

通径

2b2过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HM

a（焦点）弦长公式

A(x1,y1),B(x2,y2)，AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x2

(三)焦点三角形：面积公式：SPF1F2b2tan：

2x2y2

椭圆标准方程为:221

(ab0)，椭圆焦点三角形：设P为椭圆上任意一点，F1,F2为焦点且abb2sinb2tan（重点使用）

∠F1PF2，则△F1PF2为焦点三角形，其面积为SF1PF21cos2且焦点三角形面积最大值SF1PF2bc 2b2 (四)通径

：（过焦点垂直于长轴的弦）；通径长

：

MN

a(五)弦长公式：

弦长公式：

①

AB1kx1x21k

②AB122(x1x2)24x1x21k2（含x的方程）

a1112=（含y的方程） yy1(yy)4yy1121212222kkka二：双曲线的定义、标准方程及其性质：

常用的一些结论：

1、焦点跟着系数正的走。

2，且渐进线的夹角为90o

x2y2x2y21，和它共渐近线的双曲线方程可设为

3已知双曲线的方程为916916224.已知双曲线的渐进线为3x4y0,则可设双曲线方程为9x16y(0)

2、若双曲线为等轴双曲线，则其离心率e392yx22x(0)或(0)

5.已知双曲线的渐进线为yx,则可设双曲线方程为y416916226. 若知道双曲线过两点，则设双曲线方程为：mxny1(mn0)、

2

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

x2y21a0,b0

a2b2y2x21a0,b0

a2b2第一定义

第二定义

范围

顶点

轴长

对称性

焦点

焦距

到两定点F1、

F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|MF1||MF2|2a（02a|F1F2|）与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即MFe(e1)

dya或ya，xR

xa或xa，yR

1a,0、2a,0

10,a、20,a

实轴的长2a 虚轴的长2b

关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

F1c,0、F2c,0

F10,c、F20,c

F1F22c(c2a2b2)

cc2a2b2b2e12aa2a2aa2x

cybx

a

离心率

(e1)

准线方程

a2y

cyax

b

渐近线方程

焦半径

左焦：aexo右焦：aexo下焦：aeyo上焦：aeyoM(x0,y0)

焦点三角形面积

SMF1F2b2cot2(F1MF2)

通径

2b2过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HM

a

图形

y22px

标准方程

y22px

x22py

x22py

p0

定义

顶点

离心率

对称轴

范围

p0

p0

p0

与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上) 0,0

e1

x轴

x0

x0

y轴

y0

y0

焦点

pF,0

2xp

2pF,0

2pF0,

2yp

2pF0,

2准线方程

焦半径

xp

2p

2yp

2p

2M(x0,y0)

通径

焦点弦长

公式

参数p的几何意义

MFx0p

2MFx0MFy0p

2MFy0过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH2p

ABx1x2p

参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔

关于抛物线焦点弦的几个结论：

设AB为过抛物线y22px(p0)焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线AB的倾斜角为，则

2pp2;

,y1y2p2; ⑵

AB⑴

x1x22sin4⑶

以AB为直径的圆与准线相切；

B在准线上射影的张角为⑷

焦点F对A、⑸

；

2112.

|FA||FB|P

考点一

圆锥曲线的定义及标准方程 [命题角度] 1．求圆锥曲线的方程． 2．圆锥曲线的定义及其应用． 22例1、双曲线x－4y＝4的离心率为(

) A.

6 B.5 C.65 D.

22x2y2变式1、双曲线 C：221的离心率为3，则它的渐近线方程为＝(

)

abA.y2x B.y12D．yx

x C.y2x

22x2y21的左右焦点分别为F1,F2，练习1、若双曲线E:点P在双曲线E上，且PF（ ）

13,则PF2916A. 11

C. 5 2、抛物线yax2的准线方程是(

) A.yB. 9 D. 3 aa11 B.y C.y D．y

242a4a考点二 圆锥曲线的几何性质 [命题角度] 1．求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围． 2．由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程． 3．求双曲线的渐近线方程． x2y22例2、已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y4x的焦点重合，且双曲线的离心率等ab于5，则该双曲线的方程为(

) 5y2x2y2y2x24y221B.1 C.1 D．5x1

A.5x4545452y2x21的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为(

) 练习1、以双曲线124x2y21 A.

6452x2y21

B.

1612x2y21

D．4162x2y21 C．164y21有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程为(

) 练习2、与双曲线x4x2y2x2y2y2x2y2x21 B. 1C．1 D．1

A. 2831231228圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．

①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． 22②计算．即利用待定系数法求出方程中的a，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y＝2ax22222或x＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx＋ny＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx－ny＝1(mn>0). 例3、已知O为坐标原点，F为抛物线C：y242x

的焦点，P为C上一点，若PF=42,则POF的面积为（ ）

A.2 B.22 C.23 D.4 练习1、已知抛物线C：y24x

的焦点F，P为C上一点，若准线为l,点Al，线段AF交抛物线C于点B，若FA3FB,则AF=( ) A.3 B.4 C.6 D.7 方法归纳 圆锥曲线定义的应用 ①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解． x2y2例4．已知点F1、F2是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，在此椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝60°，且|PF1|ab＝2|PF2|，则此椭圆的离心率为(

) 1A. 3C.3 3B.D.2

26

6x2y2练习1、设F是双曲线C：2－2＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端ab点，则C的离心率为( ) A.5 B. 6

C. 56 D.

22x2y22、过椭圆221(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，F1PF260,ab则椭圆的离心率为（ ）

A. 1123 B. C. D.

2323方法归纳 圆锥曲线性质的应用 (1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键． (2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． [注] 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．