6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质优秀公开课教案

函数yAsin(x)b值域问题分析

上海市鲁迅中学

董倩

【学情分析】

测验4考试数据显示了求函数yAsin(x)b的值域是我班学生的学习难点，有必要进行针对性的教学。以知识点掌握情况的数据、考情数据导入，学生对这个知识的学习意愿会更强烈。在积累了多次练习的基础上，以变式教学的形式使得学生逐步提炼出解决这个问题的基本分析模式，学生易于接受和理解。

【教学目标】

1、掌握求函数yAsin(x)b值域的方法

2、掌握换元的数学方法，体会化归的数学思想。

【教学重难点】

教学重点：掌握求函数yAsin(x)b值域的方法

教学难点：用三角恒等式化简函数式。

【教学环节设计】

教学过程

教学环节

数据题号

得分率% 分析

年级

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

设计意图

本班

84.4 15.6 58.72 28.44 43.12 28.44 33.03 11.93 41.28 6.42 41.28 47.17 35.32 18.68

78.57 17.86 89.29 21.43 39.29 39.29 28.57 10.71 42.86 7.14 25 54.46 31.79 14.54

通过智学网数据分析，让学生了解本张试卷的答题情况，明确数学学习的弱点之处，激发学生的学习意愿

例1 例1：（测验第8题）函数ysin2x3cos2x

(明确求函数6x6)的值yAsin(x)b域为

值域的方法。总结做题步骤。

__2，（化简，依据定义域求值0______。域）

例2 例2（测验4）14、已知函数 通过学生自己做练习和典型错误分析，明f(x)2sinxcosx23cos2x3

，确正确运用三角恒等式xR,

的重要性。复习三角恒f(x)求函数的值域。（得分率15.31%）

等式的类别。

变式1 变式1：已知函数 通过与例2比对，快速找出所用三角恒等2f(x)sin2x23sinx3

，式，复习解题过程。

x，，求函数值域。

33变式2 变式2：已知函数f(x)4cosxsin(x3)3 ，x，，求函数值域。

331、通过学生做、学生讲解，使得学生充分体会和掌握做题步骤和换元法。

2、通过提问，将解决

yAsin(x)b

值域问题扩展为解决yAsin(x)b和yAcos(x)b 例3 例3（测验4）9、若f(x)tan(x2)a在3值域问题。

将解决yAsin(x)b区间,上恒成立，则a的取值范围是值域问题扩展为解决3_______________ yAsin(x)byAcos(x)b

yAtan(x)b

1、

求函数yAsin(x)b值域问题。

、培养学生总结反思的习惯和能力。

课堂

小结

yAcos(x)b，yAtan(x)b的值域，方法相同，先转化解析式，再用换元法，结合基本函数的图像进行求解。

2、

掌握换元法，体会化归这个数学思想方法在解题中的重要作用。

【教学过程】

一、数据分析

题号

得分率% 年级

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

本班

84.4 15.6 58.72 28.44 43.12 28.44 33.03 11.93 41.28 6.42 41.28 47.17 35.32 18.68

78.57 17.86 89.29 21.43 39.29 39.29 28.57 10.71 42.86 7.14 25 54.46 31.79 14.54

前不久我们做了测验4，从智学网上可以得到这张试卷各个小题的得分情况。

我们来看这张试卷得分率数据表，对比每道题目的年级得分率和班级得分率，我们可以发现本次测试班级水平略高于年级水平。从这张表格中，我们可以发现得分率极低的题目为第8、10、14题。其知识点分别为：

题号

8

得分率% 知识点

10.71

7.14

求函数yAsin(x)b的值域

yAsin(x)b的性质、最值

第一小问：求函数yAsin(x)b的值域

第二小问：图像变换

10

14

14.54

三道题目的共同点是求函数yAsin(x)b的值域。本节课我们结合这张测验卷中的题目来解决求函数yAsin(x)b的值域中所遇到的问题。

二、典型例题（高一数学测验4）

我们首先来看第8题。

例1：（测验第8题）函数ysin2x3cos2x

(__2，（化简，依据定义域求值域）

0______。

解答详情：3人答对，7人答案为3，0，3人答案为1，0，2人答案为0,1，

2人答案为1,1,2人空白，其余答案各不相同。6x6)的值域为

从答题情况我们可以看出，在做这道题目时，大部分同学的思路并不清楚。我们先请做对的一位同学分享他的思路。

【学生】先把解析式化为yAsin(x)b的形式，再看函数在这个区间上

的单调性，然后求出值域。

【教师】非常好，思路很清楚。请xx来说具体应该怎么做？

【学生】用辅助角公式。

【教师】解释：利用辅助角公式构造出一个角的正弦值和余弦值，再利用辅助角公式把解析式化为一般形式。我们需要提出公因子2。

解：ysin2x3cos2x13 =2sin2xcos2x22

【教师】我们可以将式子化为两角和的正弦、余弦，也可以化为两角差的正弦、余弦。你选哪种？

【学生】用两角差的正弦公式

【教师】为了做题方便，我们选择将式子化为两角差的正弦。

13y2sin2xcos2x22 =2sin(2x3)

【教师】转化完毕，接下来呢？

【学生】看成一个整体来研究函数。

【教师】哦，我们把2x3看做一个整体，也就是用换元法把2x3整体代换掉。【学生】令t2x3,

2x, 2x,06633

2y2sint,t,03

【教师】我们先来回忆函数化为ysinx,xR的图像。

（PPT放映ysinx,xR的图像）

2 那么，函数y2sint,t,0的单调性如何？

3【学生】由图知函数y2sint在区间，-上单调递减，在区间

2单调递增，则t时，ymin2，t0时，ymax0

2 所以函数的值域为，上232,0

【教师】总结：现在我们回顾这道题目，我们先将函数化为yAsin(x)b的形式，再换元利用基础函数ysinx,xR的图像和性质求出函数的值域。

接下来，请同学们看第14题

xR,

例2（测验4）14、已知函数f(x)2sinxcosx23cos2x3

，求函数f(x)的值域。（得分率15.31%）

【教学活动】学生做题，请一位同学在黑板上做题。做完请该生进行讲解。

解：f(x)2sinxcosx23cos2x3cos2x1 =sin2x2332

=sin2x3cos2x13

f(x)=2（sin2xcos2x）22

 =2sin(2x)3

因为函数的定义为R，

所以函数f(x)的值域为2,2

【教师】问：大家觉得他做的对吗？

【学生】对的。

【教师】做得很棒，请你回到座位。

这里有两位同学的答案，我们看看错在哪里？

【教师】第一位同学错在哪里？

（用电子笔指出第二行、第三行的错误之处）

【学生】不应该提出公因子，这样无法得到我们想要的。

【教师】如果提出公因子，在同一区间内函数y=cosx,ysin(x

3同，不能得到函数的值域。要将函数化为yAsin(x)b的形式。

为此我们需要用二倍角公式对式子做降幂处理。

)的单调性不【教师】第二位同学怎么错的？

【学生】二倍角公式使用错误。

【教师】我们看在前一道例题中，我们使用了辅助角公式，在这道题目中我们使用了降幂公式，或者说二倍角公式。我们来总结一下，在将已知函数化为yAsin(x)b的过程中，我们可以用到哪些公式？

【学生】辅助角公式、升幂公式、降幂公式、二倍角公式。。。。

【教师】很好，这些公式呢其实都属于三角恒等式。

现在我们来做变式1，请同学们讨论如何求解这个区间上函数的值域。

变式1：已知函数f(x)sin2x23sin2x3

，x，，求函数值域。

33【活动】请同学们进行讨论，讲述解题过程

解：f(x)sin2x231cos2x32

=sin2x3cos2x13 =2（sin2xcos2x）22 =2sin(2x令t=2x3)，3

x，2x，33

33y2sint,t，,3

在区间

由图知函数y2sint在区间，-上单调递减，2则t时，ymin2，t时，ymax3

23所以函数值域为2

，3

【教师】总结：这位同学做的很棒，讲的也很棒！

变式2：已知函数f(x)4cosxsin(x，上单调递增，23)3 ，x，，求函数值域。

333

【教学活动】请学生做，学生进行讲解。

解：f(x)4cosxsin(x3)3 4cosxsinxcoscosxsin33313 =2cosx(sinxcosx)322 =sin2x23cos2x3 sin2x231cos2x32

13 =2（sin2xcos2x）22 =2sin(2x3)

令t=2x，3

x，2x，3333

y2sint,t，,3

在区间

由图知函数y2sint在区间，上单调递减，32上单调递增，，2则t时，ymin3，t时，ymax2

32所以函数值域为3

，2

【教师】如果我们不把函数解析式化为y=2sin(2x我们怎么做？

【学生】一样的，用换元法把2x图像求出其值域。

例3（测验4）9、若f(x)tan(x值范围是_______________ （解答详情：12人答对，4人空白，3人答案为,，其他答案各异）

332)a在区间,上恒成立，则a的取333)，而是化为y=2cos(2x6)，

整体代换，利用基础函数y=cosx

，xR的6【教学活动】请学生做，学生讲出思路即可。

解：令t=x2，32

x,，x,3333f(t)tant,t,33

f(t)tant,在区间,上单调递增33

f(t)3，3



因为f(x)tan(xaf(t)maxa3

2)a在区间,上恒成立33

【教师】这道题目看起来好像和前面的题目并不相同？

2)a在区间,上恒成立，则a的取【学生】实质相同。f(x)tan(x33值范围是__________。这是个恒成立问题，

a大于函数2f(x)tan(x)a在区间,上的最大值，题目由求实数取值范围，33转化为求三角函数在其定义域上的最大值。

【教师】你讲的很好！我们在求函数yAsin(x)b的值域时，先将函数化为yAsin(x)b的形式，再利用基本函数性质求值域。其实在面对求的值域问题时，方法是一样的。

yAcos(x)b，yAtan(x)b

【课堂小结】

3、

求函数yAsin(x)b、yAcos(x)b，yAtan(x)b的值域，方法相同，先转化解析式，再用换元法，结合基本函数的图像进行求解。

4、

掌握换元法，体会化归这个数学思想方法在解题中的重要作用。

课后作业

校本练习

1 .已知函数(,)的最小正周期为,且,则函数在上的最小值是______________。

2、当x[

,]时，函数f(x)sinx3cosx的值域是___________。

2213、已知函数f(x)3cos2xsin2x.

2

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值。

64134、已知f(x)=sin2x+cos2x+sin2x

24（1）求f(x)的周期；（2）当x为何值时，f(x)取得最大值；

5，已知函数f(x)2cosxsin(x)3sin2xsinxcosx。

3（1）求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值；

7]，求满足f(x)1的x值。

（2）若x[,1212