3.4 生活中的优化问题举例PPT配套教学设计内容

3.4生活中的优化问题举例

[导入新知] 1．优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

2．用导数解决优化问题的基本思路

[化解疑难] 1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．

2．在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．

面积、容积最值问题

[例1]

如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？

解：设广告牌的高和宽分别为x cm，y cm，

y－25则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25. 2y－25两栏面积之和为2(x－20)·＝18000，

218000由此得y＝＋25. x－20

1800018000x广告牌面积为S(x)＝xx－20＋25＝x－20＋25x，

18000[x－20－x]－360000∴S′(x)＝＋25＝＋25. 2x－20x－202令S′(x)>0，得x>140，

令S′(x)<0，得20

在(20,140)上单调递减，

∴S(x)的最小值为S(140)．

当x＝140时，y＝175. 即当x＝140，y＝175时，S(x)取得最小值24 500，

故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小．

[类题通法] 解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

[活学活用] 用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)．

问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

解：设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，

则V(x)＝x(90－2x)(48－2x) ＝4x3－276x2＋4320x(0

V′(x)＝12x2－552x＋4320 ＝12(x2－46x＋360) ＝12(x－10)(x－36)．

令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．

当00，V(x)是增函数；

当10

因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为

V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(cm3)．

故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19600 cm3.

利润最大问题

[例3]

某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(单位：百万元，且0≤t≤5)．

(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？

(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技1术改造费x(单位：百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(单位：百万元)．请设计一个3资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)．

解：(1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则有

f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t

＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，

∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，

即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．

(2)设用于技术改造的资金为x百万元，

则用于广告促销的资金为(3－x)百万元，

又设由此获得的收益是g(x)，则

11－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，

g(x)＝33∴g′(x)＝－x2＋4. 令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2. 当0≤x＜2时，g′(x)＞0；当2＜x≤3时，g′(x)＜0，

故g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数．

∴当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．

[类题通法] (1)经济生活中优化问题的解法

经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．

(2)关于利润问题常用的两个等量关系

①利润＝收入－成本．

②利润＝每件产品的利润×销售件数．

[活学活用] 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系

1式为p＝24 200－x2，且生产x t产品的成本为R＝50 000＋200x(元)．问：该工厂每月生产5多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本) 解：每月生产x t时的利润为

124200－x2x－(50000＋200x) f(x)＝51＝－x3＋24000x－50000(x≥0)，

53则f′(x)＝－x2＋24000，

5令f′(x)＝0，

解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．

因f(x)在[0，＋∞)内只有一个极大值点x＝200，

故它就是最大值点，且最大值为

1f(200)＝－×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．

5所以每月生产200 t产品时利润达到最大，最大利润为315万元．