1.4.3 含有一个量词的命题的否定优秀教学设计内容

含有一个量词的命题的否定

河北肥乡第一中学-------韩志敏

教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用. 教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；

教学难点：隐蔽性否定命题的确定；

教学过程：

一、引入

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；

（3）xR，x-2x+1≥0 分析：（1）xM,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；xM,p(x)

（2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；xM,p(x)

（3）xM,p(x)，否定：xR，x-2x+1<0；xM,p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 问题2：写出命题的否定

（1）p：

x∈R，x＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；

（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1） xR，x＋2x+2>0；

2222

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：痧U(A二

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为：

xM,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 2.关键量词的否定

词语

词语的否不是

定

至多有一词语

必有一个

至少有n个

个

所有x成立

立

定

三

例题

例1 写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有人都晨练；

（2）p：xR，x＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；

（4）p：

x∈R，x－x+1＝0；

22B)UA?B)UB,痧U(AUA?UB

是

一定是

都是

大于

小于

且

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

所有x不成或

词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个有

个

个

成立

成立

分析：（1） P：有的人不晨练；（2）

x∈R，x＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）xR，x－x+1≠0；

例2

写出下列命题的否定。

（1）

所有自然数的平方是正数。 （2）

任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （3）

对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4）

有些质数是奇数。 解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。 例3

写出下列命题的否定。 （1）

若x＞4 则x＞2.。 （2）

若m≥0,则x+x-m=0有实数根。 （3）

可以被5整除的整数，末位是0。 （4）

被8整除的数能被4整除。 （5）

若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 2解（1）否定：存在实数x0，虽然满足x0＞4，但x0≤2。或者说：存在小于或等于2的数x0，2满足x0＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x＞4 则x＞2）

2222222（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x0+ x0-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除) （5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

2

例4

写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

（2）p：正方形的四条边相等；

解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y；

假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2）

P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题

四

课堂总结

命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。

2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3．

原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为

“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。