3.1.3 导数的几何意义教学实录及点评

导数的几何意义教案

【教学目标】

（1）使学生掌握函数f(x)在xx0处的导数f（数形结合）

xx0处的切线的斜率。 (2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。

（3达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

【教学手段】采用计算机.增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

【教学重点与难点】

重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义。

【教学过程】

（一）作业点评，承上启下： 问题：在高台跳水运动中，t秒(s)时运动员相对于水面的高度是，求运动员在t1s时的瞬时速度，并解释此时的运h(t)4.9t26.5t10（单位：m）动状态；在t0.5s时呢？

教师点评作业的优点及不足；

（二）课题引入，类比探讨：

由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质。

问：导数的本质是什么？写出它的表达式。

学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出：

//x0的几何意义就是函数f(x)的图像在

导数f(x0)的本质是函数f(x)在xx0处的瞬时变化率，即：

f/x0limx0fx0xf(x0)

x（给学生足够的时间思考讨论）

问：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？

教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”：

即：导数的代数表达式，并回忆求导数f(x0)的步骤。

问求导数f(x0)的步骤有哪几步?

教师引导学生回答：

第一步：求平均变化率//f(x0x)f(x0)；

x

1

第二步：当x趋近于0时，平均变化率f(x0x)f(x0)无限趋近于的常数就是xf/(x0)。

教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：

问：第一步：平均变化率f(x0x)f(x0)的几何意义是什么？

x请在函数图像中画出来；

学生动手活动：见“学生动手实践”。

由学生乙回答：平均变化率f(x0x)f(x0)的几何意义是割线AB的斜率。

xA(x0,f(x0)),B(x0x,f(x0x))。教师提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。

问：第二步：x0时，割线AB有什么变化？请画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”。

教师展示学生作品，引导学生观察：利用电脑展示割线变化。

x0，B(x0x,f(x0x))A(x0,f(x0)),（B点无限接近A点）。

当x0，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在xx0处的切线，请把它画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”。

教师展示学生作品，

引导学生发现，并说出：

（形）x0，割线AB切线AD，

则割线AB的斜率切线AD的斜率

由数形结合，得

f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线AD的斜率

x/所以，函数f(x)在xx0处的导数fx0的几何意义就是函数f(x)的图像在xx0处的切线AD的斜率。（数形结合）。

（三）

动画演示，总结归纳

1．演示Flash动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出来。

2．

教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示Powerpoint动画。

2

yl1A初中平面几何中，圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。

圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上图中，直线l1虽然与曲线有惟一的公共l2B点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线l1虽然与曲线有不只一个xC公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。

通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。

3．根据导数的几何意义，在点P附近，曲线f(x)可以用在点P处的切线

近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。动画演示

（四）训练巩固、加强理解：

在函数h(t)4.9t6.5t10的图像上，（1）用图形来体现导数h(1)3.3，（2）请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2h/(0.5)1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？

2/

3

h

O

t3

t4

t0

t1

t2

t

（五）抽象概括，归纳小结：

1．抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念：

f//x0是确定的数（静态），fx是x的函数（动态）

由f/x0limx0/fx0xf(x0)（特殊——一般）

x

ffxxf(x)x（静态——动态）

limx0x

2．归纳小结：

由学生进行开放式小结：

（1）函数f(x)在xx0处的导数f/x0的几何意义就是函数f(x)的图像在

xx0处的切线AD的斜率。（数形结合），即：

f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线AD的斜率

x（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

（3）导函数（简称“导数”）的概念。f（六）作业布置，分层要求：

1．习题P10A5,6.B2,3.

/fxxf(x)xlim

x0x

4



2．如图是利用信息技术画出的函数r(V)33V(0V5)的图像，请根据图像，估4计V0.6,1.2时，气球的瞬时膨胀率。有什么发现？

r

r(V)33V0V5

4O

V

3．请给出求函数yf(x)在xx0处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。

5