2.2.1 椭圆的标准方程第二课时教案

2.1.1《椭圆及其标准方程》（第一课时）教案

李丽娟 一、教材分析

本节课是人教版《选修1-1》第二章《圆锥曲线方程》第一节的第一小节，本小节共两课时，本节课为第一课时。主要认识椭圆的定义和掌握标准方程的推导。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，也是高考的重要考点。

本节课的学习是研究椭圆知识的基础内容，又是继续探讨椭圆的几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。对椭圆概念掌握的好坏，不光影响对它本身的性质的掌握，而且直接影响对双曲线、抛物线的学习效果。因此本节内容起到一个承上启下的重要作用。

考纲要求：（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；（2）理解数形结合思想；（3）了解圆锥曲线的简单应用。

二、学情分析

本节课是学生学习了直线和圆的方程及其性质，理解了曲线与方程的概念，对解析几何的研究有了一定的基础，具有一定的观察、分析问题、解决数学问题的能力之后，开始学习圆锥曲线方程的第一课时。由于所教班级是普通班，学生基础相对薄弱，所以在课堂设计的引入以及知识引导上作了认真深入的研究，既照顾了学习能力相对强的一部分学生，也考虑到学习基础相对弱的学生，合理安排教学方法和内容，在实验环节中，大部分学生可以直观发现椭圆的形成过程，通过教师引导进一步探究椭圆形成的条件，启发部分学生归纳出椭圆的定义，进一步使全体学生感知椭圆概念，扫清他们学习上的障碍，进一步提高学习的积极性和主动性。 三、教学目标

知识目标：通过作图实验，理解椭圆的定义及会简单的求出椭圆标准方程。

能力目标：通过对椭圆概念的认识及标准方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。

情感目标：通过椭圆标准方程的学习，体会数学的对称美，培养学生探求新知，克服困难的精神。

四、教学重、难点

教学重点：椭圆概念的形成及确定椭圆标准方程的两种方法。

教学难点：椭圆标准方程的推导与化简，理解坐标法的基本思想，强化坐标法的四个环节。

五、教学手段和方法

教学用具：

计算机、自制课件、电子白板、实验模型。

教学方法：

问题启发式与试验探究式相结合，小组合作学习。

在椭圆定义的引入过程中使用试验探究式，使学生从实验中感知椭圆的定义，突出重点。通过问题启发式教学，师生合作完成方程的推导，充分体现学生的主体，教师的主导，突破难点。在新知应用的例题探究中，应用小组合作学习，充分发挥学生的合作能力，体现生生互动。

六、教学过程

1、引入

通过微视频介绍平面解析几何的背景及圆锥曲线。

设计意图：让学生感受数学与生活的联系，激发学生对椭圆的学习兴趣。

提问:我们知道动点到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

若把定点分成两个点，动点绕两个定点形成什么图形呢？

3、椭圆的定义

（1）学生实验：把细绳的两端分开一段距离，两端固定在纸上的两点F1，F2（可两人合

1

作），用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在纸上移动笔尖，观察画出的图形，得到椭圆。

设计意图：学生自己动手作图，把抽象的数学图形直观化，为后面归纳椭圆定义作基础。

（2）问题1：在这一过程中，你能说出移动笔尖（动点）所满足的几何条件吗? 椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆。

这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

设计意图：让学生找出MF1、MF2和F1F2之间的关系，归纳出椭圆的定义。

当F1F2=2a〉2c. 时动点M的轨迹是椭圆

当2a=F1F2时动点M的轨迹是线段F1F2；

当2a

设计意图：应用几何画板感知椭圆的定义，再次巩固椭圆的定义。

4、椭圆的标准方程

（1）椭圆方程的推导

下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆的方程，并通过方程研究椭圆的性质。

学生已经掌握了建立坐标系的方法，所以容易根据椭圆的几何特征建立直角坐标系。根据椭圆定义列出关系式，然后用坐标表示，再化简。这个式子有两个根号，学生是第一次遇到，所以需要提示学生先把根号移一个到等号的右边，两边平方后剩一个根号，此时把根号留在等号的一边，其余项全部移到等号的另一边，然后再平方才可以将根号去掉，由教师带领学生一起化简，得出椭圆的标准方程。

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。

设Mx,y是椭圆上的任一点，椭圆的焦距则F1c,0、F2c,0。

由定义知：MF1MF22a

为2cc0，xc2y2xc2y222a

将方程移项后平方得：xcy24a4aa2cxaxc2y2xc2y2

xc2y

两边再平方得：a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2

x2y21

acxayaac22aac22222222

2

由椭圆定义知：2a2c,即ac,a2c20.

问：方程形式能否更简单？

x2y2设acbb0得：221ab0

ab222设计意图：师生合作，完成方程的推导，突破难点。

（2）问题2：观察椭圆图形，你能从中找出表示a,b,c的线段吗？

由图可知：PF1PF2a,

OF1OF2c,

POa2c2b.

设计意图：说明为什么令b2a2c2，让学生感受这一做法的合理性。

（3）探究：如果椭圆的焦点在y轴上，则它的方程如何推导？

学生容易猜想焦点在y轴上的椭圆标准方程：

y2x21ab0（由学生课后自己完成推导）

a2b2设计意图：猜想出焦点在y轴的椭圆的标准方程。

（4）比较两种方程的异同。

例1：下列说法正确的是

(C

)

A.已知F(-4,0),F(4,0),到两点F,F的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆

1212B.已知F(-4,0),F(4,0),到两点F,F的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆

1212C.已知F(-4,0),F(4,0),到两点F,F的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆

1212D.到点F(-4,0),F(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆

12例2：（口答）判定下列椭圆的焦点在

哪个轴上，并指明a2、b2，写出焦点坐标.

x2y21）　1答:在

x 轴上

(-3,0)和(3,0）

2516

x2y22）　1答:在

y 轴上(0,-5)和(0,5）

144169

22(,0),(,0)22答:在x轴上

3）　x2y122y2x2x2y221ab0或221ab0

2abab（1）两个方程总有：ab0方程左边是加法，右边是1，

（2）都有c2a2b2即a2b2c2,a最大。

3

（3）x2和

y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上。

设计意图：准确掌握两种方程。

例2求适合下列条件的椭圆的标准方程。

（1）两个焦点的坐标方别是4,0、4,0，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10；

35（2）两个焦点的坐标方别是0,2、0,2，并且椭圆经过点,。

22分析：利用待定系数法，首先确定椭圆的位置，然后设出椭圆的标准方程，根据题目条件求出a和b，从而确定方程。

x2y2解：（1）由已知可设椭圆的标准方程为：221ab0

ab2c4(4)8,2a10. c4,a5.

b2a2c252429.

x2y21.

所求椭圆的标准方程为：259y2x2（2）由已知可设椭圆的标准方程为：221ab0

ab由椭圆的定义知：

3135351010210

2a()2(2)2()2(2)2222222a10

又c2

b2a2c21046.

y2x21.

所求椭圆的标准方程为：106设计意图：1.待定系数法求椭圆标准方程的方法步骤。2.第（2）题来自教材40页例1改编，从横位方程改编为纵位方程，在学生的探讨中突出焦点位置对确定椭圆方程的重要性。体现合作学习的重要性。

6、课堂小结（从知识和方法方面小结）

知识：椭圆的定义，椭圆的标准方程。

方法：求椭圆标准方程的方法：待定系数法；定义法。

思想方法：数形结合；方程思想

7、作业布置

课本P42练习

P49习题2.1A组：1，2.

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