3.1.5 空间向量的数量积教案及板书设计

3.1.5

空间向量的数量积(1) 教学目标：

1．掌握空间向量的夹角的概念；

2．掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；

3．了解空间向量数量积的几何意义．

教学重点：

掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律．

教学难点：

空间向量的数量积的运用．

教学方法：

新授课、启发式――引导发现、合作探究．

教学过程：

一、问题情境

1．前面我们学过了平面向量的数量积，大家还记得吗？回忆一下吧．

2．空间向量的数学量概念应该是怎么样的，还能用平面向量数量积公式表示吗？

3．类比平面向量数量积，你能得出空间向量数量积的相关性质吗？

二、学生活动

1．复***面向量数量积的概念、性质和运算律．

2．类比得出空间向量数量积的概念．

（可以个人独自总结，再进行小组汇总．）

3．类比得出空间向量数量积的性质和运算律．

三、建构数学

学生回答，老师总结并通过多媒体体现：

（一）空间向量数量积的概念

我们知道，任意两个空间向量都是共面向量，因此，两个空间向量的夹角以

1

及它们的数量积就可以像平面那样来定义．

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作O则∠AOBA＝a，OB＝b，叫做向量a与b的夹角，记作a，b；且规定0≤a，b≤π，显然有a，b＝b，a；

若a，b＝π2，则称a与b互相垂直，记作：ab；

aaA O B bb2．向量的模：

设OA＝a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：3．向量的数量积：

已知向量a，b，则|a||b|cosa，b叫做a，b的数量积，

记作ab，即ab＝|a||b|cosa，b．

由此可得，求空间两个非零向量a，b的夹角a，b的公式

cosa，b＝abab

．

注：

①两个向量的数量积是数量，而不是向量．

②零向量与任意向量的数量积等于零．

（二）空间向量数量积的性质和运算律

1．空间向量数量积的性质：

（1）ae＝|a|cosa，e．

（2）abab＝0．

2

|a|；

（3）|a|2＝aa．

注：

①性质（2）是证明两向量垂直的依据；

②性质（3）是求向量的长度（模）的依据．

2．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b＝(ab)＝a(b)．

（2）ab＝ba（交换律）．

（3）a(b＋c)＝ab＋ac（分配律）．

注：数量积不满足结合律，即

（. ab)c≠a(b)c四、探索新知

思考

0a是零向量吗？ 0a是零向量吗？

1．我们规定：零向量与任一向量的数量积为0．

2．0a不是零向量，是数，

0a是零向量．

五、数学运用

1．例题．

例1

已知|a|＝4，|b|＝32，ab＝12．求a与b的夹角a，b．

解

cosa，b＝abab＝121＝，

4×322π所以 a，b＝．

4例2

如图，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．

3

D1 A1 D B1 C1 C B A 例2图

2．练习．

（1）作业：课后练习1，5．

（2）如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，OAC＝45，OAB＝60，求OA与BC的夹角的余弦值．

O

A

C

B

解：∵BC＝AC－AB，

∴OABC＝OAAC－OAAB

＝|OA||AC|cosOA，AC－|OA||AB|cosOA

，AB

＝8×4×cos135－8×6×cos120＝24－162

∴cosOA，BC＝OABC|OA||BC|＝24－1623－228×5＝5，

所以，OA与BC的夹角的余弦值为3－225．

注：由图形知向量的夹角时易出错，

如OA

，AC＝135易错写成OA

，AC＝45，切记！

六、要点归纳与方法小结

4 BC＝5，

本节课学习了以下内容：

1．空间向量的夹角的概念；

2．空间向量的数量积的概念、性质和运算律；

3．

方法上，我们采用了类比的思想由平面向量数量积得出空间向量数量积

定义及性质；

4．空间向量要注重数形结合，注重培养我们的空间想象能力．

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