探究与发现 为什么y=±b／a x是双曲线x2／a2 －y2／b2 =1的渐近线教学教案设计

《双曲线的渐近线的发现与探究》教学设计

一、教学内容分析

本节课是高中数学《人教A版2003课标版选修1-1第二章

圆锥曲线与方bx2y2程 2.2 双曲线 探究与发现 为什么yx是双曲线221的渐近aab线》，根据学生实际情况，我将它提到了《2.2.2双曲线的简单几何性质》第一课时来上。

对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，也是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学核心素养。

二、学生学习情况分析

学生刚刚学习了双曲线的定义及其标准方程；并且在几天之前的学习经历1中已经掌握了椭圆的几何性质以及研究和证明方法；学生对于函数fx图x像的几何性质也非常熟悉。

历届学生对渐近线的理解和掌握不觉得太难，但是对于双曲线渐近线的发现有一定的困难，因为相对于对称性等显性特征，渐近线显得更加隐蔽隐性。

三、设计思想

数学核心素养之一的逻辑推理中就包含类比思想，本节课让学生反复体会类比的力量，熟悉类比思想，提升用类比思想探究新知的欲望。

直观想象也是数学核心素养之一，本节课让学生学习和感受直观想象对问题发现和研究的作用，体会到数学研究并不是盯着代数式死算，代数式不仅仅是数字，它还可以反映到图形上，同时也体会到数形结合的思想。

以问题串的形式，引导学生去发现和探究，而不是生硬的给出和证明。

四、教学目标

1.了解双曲线的简单几何性质并会简单应用

2. 掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤

3.通过观察、类比、数学运算来探究双曲线的几何性质，尤其是渐近线

4.通过类比旧知识，探究新知识，培养学生探索新知识的能力和勇气

五、教学重难点

教学重点：双曲线渐近线的发现过程和证明方法

教学难点：双曲线渐近线的发现过程和证明方法

六、教学过程

y2x2【创设情境并引入】投影双曲线221图像

ab问题一：请观察双曲线的图像，回忆我们学过的哪个函数的图像与它有相似的双支特点？

答：函数fx1的图像。

x设计意图：唤起回忆，通过观察初步直观感知图像特征。

问题二：请在平面直角坐标系中画出函数fx哪些特征？

答：对称性，单调性。

板书：

fx 对称性

单调性

1的图像，并说说它具有x1

x

设计意图：引出我们要研究的几何性质，并直观感知数量fx、x的变化与图像变化趋势的关系，为下面通过双曲线代数式感知双曲线的图像趋势做铺垫。

问题三：具体都有哪些对称关系？单调性如何？

答：轴对称和中心对称，在0,上单调递减。

板书：

fx 对称性 轴对称

中心对称 单调性 在0,上单调递减

值域为0,

1

x

设计意图：再次直观感知图像特征，并对图像特征的具体化，通过单调性，初步感知渐近线的存在。

【探究新知】

1y2x2问题四：请画出函数fx图像的对称轴，并与双曲线221的图xab像比对。我们已经掌握的知识对于新接触的且与之类似的事物的研究有何启发？双曲线的图像你会研究哪些性质？请确定自己研究的方向，并严格证明。

答：双曲线图像的对称性，可以通过椭圆对称性的证明方法给予证明。

板书：

1y2x2 221 fx

xab轴对称：坐标轴是对称轴 对称性 轴对称

中心对称

：原点是对称中心 中心对称 单调性 在0,上单调递减

值域为0,

设计意图：初步体会类比思想，通过类比旧知猜想新知，通过类比将已掌1握的证明方法应用到新知的研究和证明中；画出fx的对称轴与双曲线x1y2x2fx1的坐标轴对应，那的图像与坐标轴的关系又是什么，为渐xa2b2y2x2x2y2近线的引出铺垫；选用双曲线221而不是双曲线221的目的是为研abab究抛物线函数yx21做铺垫。

问题五：研究好对称性之后，你认为还可继续研究哪些性质？能否严格证明？

答：双曲线不是函数，但是由于我们已经研究了对称性，我们可以通过研究第一象限的图像，从而确定其他象限的性质。而在第一象限的图像是函数，a2xb2，具有单调递增的性质。

其表达式为yb板书：

1y2x2 221 fx

xab轴对称：坐标轴是对称轴 对称性 轴对称

中心对称

：原点是对称中心 中心对称 范围：x,y,aa,单调性 在0,上单调递减

顶点

：0,a 值域为0,

设计意图：引出代数式y析思想。

1y2x2问题六：观察函数fx的图像，并与双曲线221的图像比对，xab1函数fx的图像还有何特征？对你有什么启发？

xa2xb2，并体会通过代数式去研究几何的解b

答：函数fx1的图像有两条渐近线，双曲线的图像是否也有渐近线。

x设计意图：引发新类比，鼓励学生勇于通过类比去猜想隐性的性质。

问题七：如果有，请画出大致位置，并给出证明。

提示1：在函数fx1的研究过程中，你如何说明具有渐近线？

x答：以第一象限为例，通过图像上的点作x轴的垂线，该距离即该店的纵坐标，随x的变大而减小，当x趋向于零的时候，趋近于x轴，但始终位于上方。

设计意图：通过提示1，再次体会用代数式研究几何特征的思想，并体会极限思想。

提示2：双曲线上的点到渐近线的距离表示起来比较繁琐，是否可以进行转化？

答：将双曲线上的点到直线的距离转化成双曲线上的点与直线上的点的竖直高度差。

设计意图：通过提示2，研究几何图形，优化证明过程。

提示3：双曲线上的点的高度如何表示？通过该代数式，你对双曲线的图像有何直观感知？

a2xb2，x0,,ya,。当x的值趋向于无穷大的时ba候，图像趋向于直线yx，猜想该直线就是双曲线的一条渐近线。

b答：y设计意图：通过代数式研究图像特征，直观感知双曲线图像的大致趋势，并发现渐近线的方程。

提示4：请表示出竖直高度差，并证明结论。

设计意图：体现先猜后证的严谨的科学研究精神，体会逻辑推理，培养数学运算能力。

y2x2问题八：请精确画出双曲线221渐近线图像，并在同一坐标系中画ab出双曲线图像。

板书：

1y2x2 221 fx

xab轴对称：坐标轴是对称轴 对称性 轴对称

中心对称

：原点是对称中心 中心对称 范围：x,y,aa,单调性 在0,上单调递减

顶点

：0,a 值域为0,

渐近线：yax 渐近线：x轴、y轴

b实轴：两顶点间的线段 虚轴：b,0,b,0间的线段

离心率：ec1，e越大双曲线的开口就越大

a

设计意图：通过双曲线渐近线的精确绘画，加深对渐近线的理解以及它对双曲线图像的作用，顺带出基本知识点实轴虚轴和离心率及其几何意义。

y2x2问题九：研究了双曲线221，还有想研究的曲线吗？你能说说它的ab性质吗？

x2y2答：双曲线221。

ab设计意图：继续类比，完善知识体系，加深双曲线有焦点在x轴、y轴两类的体会，并注意联系和区别。

【巩固训练、总结提升】

练习：求双曲线9x216y2144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率，并画出其图像。

问题十：我们还有没有学过的与之类似的图像？你会怎么想、怎么做？有何结论？

答：抛物线的图像与之类似，如函数yx21的图像，有轴对称性，可以确定顶点、范围，但没有渐近线。

设计意图：再次鼓励学生勇于类比并探究，增强通过代数式直观感知函数图像的能力，体会代数与几何的联系，更进一步理解用代数研究几何的解析思想；也为接下来抛物线的图像研究做铺垫。

【小结】

1.双曲线的简单几何性质

2.根据曲线的方程，研究曲线的几何性质

3.类比旧知识，探究新知识，是终生发展的必备能力，我们要具备这样的能力和勇气

4.直观想象让我们浮想联翩，逻辑推理让我们严谨研究

温州市二十二中学 数学组 林长钱

2018.04