小结教学目标设计

《函数的单调性与导数》教学设计

工作单位

学科

数学

内蒙古包头市第一中学

授课年级

高二年级

教师姓名

戎

雪

课时安排

一课时（40分钟）

教材名称：数学

选修1-1 所用教材

第三章《导数及其应用》3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数

出版社：

人民教育出版社A版

本节为选修1-1第三章《导数及其应用》的第三节《导数在研究函数中的应用》的第一课时《函数的单调性与导数》。本节内容在整个知识体系中起到承上启下的作业。教材分析

此前，在必修一中，已有用定义法和图象法判断函数的单调性，在原有方法的基础上，本节需明确学习导数法的必要性，同时，学会用导数法判断函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间，是后续用导数法求函数的极值和最值的基础。

本节授课班级是高二文科普通班，在学习本节内容之前，学生已经学习了用定义法和图象法判断函数的单调性，本节也由此引入。由于是文科普通班，学生数学成绩较差，学情分析

考虑学生整体接受能力，选择基础的例题和练习题，本节旨在掌握用导数研究函数的单调性的方法，会求不超过三次的多项式函数的单调区间，并能通过本节学习，进一步体会数形结合的思想。

1.知识与能力

（1）通过对具体实例的分析，借助几何直观，探索并了解函数的单调性与导数的关系；

（2）通过对具体函数的研究分析，得出利用导数研究函数的单调性的方法，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

2.过程与方法

（1）学生通过自主学习，回忆已学习的函数单调性的定义以及判断函数的单调性的定义教学目标

法和图象法；

（2）学生通过思考具体实例，引起认知冲突，明确导数法研究函数单调性的必要性；

（3）通过教师讲解和学生讨论，进行实例分析，借助几何直观，探索函数的单调性与导数的关系，并掌握利用导数研究函数的单调性和利用导数求函数的单调区间的方法。

3.情感态度与价值观

通过对本节内容的学习，进一步体会数形结合的思想。

教学重点

1.利用导数研究函数的单调性；

2.会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

教学难点

1.

利用导数研究函数的单调性。

教法

通过复习定义法和图象法判断函数的单调性引入，运用问题一、二，引起认知冲突，明确学习导数法的必要性，通过实例分析，借助几何直观，探索函数的单调性与导数的关系，进而利用导数研究函数的单调性，并能利用导数求函数的单调区间。

学法

1.

学生通过自主学习，回忆已学习的函数单调性的定义以及判断函数的单调性的定义法和图象法；

2.

学生通过思考具体实例，引起认知冲突，明确导数法研究函数单调性的必要性；

3.

通过教师讲解和学生讨论，进行实例分析，借助几何直观，探索函数的单调性与导数的关系，并掌握利用导数研究函数的单调性和利用导数求函数的单调区间的方法。

一、温故知新

首先，教师引导学生复习已学过的判断函数单调性的方法及函数单调性与单调区间的定义。



1.判断函数单调性的方法：定义法或图象法。



2.函数的单调性的定义：

（1）增函数：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有fx1fx2，那么就说f(x)在区间D上是增函数；

（2）减函数：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有fx1fx2，那么就说f(x)在区间D上是减函数. 

3.单调区间：如果函数yf(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么说函数

教

学

过

程

及

内

容

教

学

过

程

及

内

容

yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间. 二、分析实例，得出函数的单调性与导数间的关系

由5个问题贯穿始终，通过学生自己的思考与探索，逐步得出用导数法判断函数单调性的步骤。



问题1、请你分别用定义法和图象法判断f(x)=x2在[0,)上的单调性. (1)定义法:任取x1,x2[0,),且x1x2,f(x1)f(x2)x12x22(x1x2)(x1x2)

x1,x2[0,),且x1x2,x1x20,x1x20f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2),f(x)在[0,)上是增函数.

教

学

过

程

及

内

容

教

学

过

程

及

内

容

(2)图象法:

函数图象在[0,)上呈上升趋势，

所以函数在[0,)上是增函数.

问题2、请你分别用定义法和图象法判断f(x)=x33x在R上的单调性.

通过学生自己的思考可知，定义法判断fx2fx1的符号很困难，而学生也不一会画此类三次函数的图象。由此引出学习导数法的必要性。



问题3、请你思考函数的单调性与导数有什么关系呢？请你作出下列函数图象，利用定义法或图象法讨论下列函数在R上的单调性，求出函数的导数并确定它们在单调区间上的导数的符号，完成如下表格：

函数

f(x)=3x

f(x)=x

f(x)=x2

图象

单调区间

单减区间：R

单增区间:[0,)

单增区间:[0,)单减区间：(,0)

导函数

y'3

y'12x

y'2x

+ 单调区间上导数的符号

思考：请你大胆猜测函数的单调性与导数符号的关系：

- + - 学生从表格中可以很容易地看出，当导数为正时，函数在该区间上为增函数；当导数为负时，函数在该区间上为减函数。进而归纳得出结论。

得出结论：

一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间(a,b)内，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；

如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减。

问题4、如果在某个区间内恒有f(x)0，那么函数f(x)有什么特性？

学生通过回忆常数函数的导函数为0可知，函数无单调性，图象平行于x轴。

问题5、如果在某个区间内有有限个点使f(x)0，在其余的点恒有f(x)0，那么函数f(x)有什么特性？

通过举例，如yx3，其导函数为y'3x2，当x0时，y'而函数yx30，x0在R上单调递增，可知在某个区间内有有限个点使f(x)0，在其余的点恒有f(x)0，那么函数f(x)单调递增。

归纳总结：

f(x)0是函数yf(x)在区间(a,b)内单调递增的充分不必要条件；

f(x)0是函数yf(x)在区间(a,b)内单调递减的充分不必要条件. 三、典型例题：

例1求证：f(x)=x33x在(,1)上单调递增.

解：因为f(x)x33x, 所以f'(x)3x233(x1)(x1) x1,x10,x10, f'(x)03 f(x)x3x在(,1)上单调递增.



小结：利用导数法研究函数的单调性

求导 化简 判断导数符号 确定单调性

例2 用导数法求f(x)=x3x的单调区间.

3

解：f(x)x33x的定义域为R, 而f'(x)3x23， 令f'(x)0,即3x230,解得1x1, 令f'(x)0,即3x230,解得x1或x1， 所以f(x)的单调递减区间为(1,1),

单调递增区间为(,1),(1,).

小结：利用导数法求函数的单调区间

确定定义域

求导 解不等式f(x)0和f(x)0 确定单调区间

因为利用导数法求函数的单调区间是本节的重点，所以设置了三道变式训练习题，让学生巩固新知，并突破易错点。

变式1 用导数法求f(x)=3x33x2的单调区间. 变式2 用导数法求f(x)=3ex3x的单调区间. 变式3 用导数法求f(x)=四、课堂小结

1的单调区间. x1.利用导数研究函数单调性的方法：一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内，如果f'(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f'(x)=0,那么函数在这个区间内为常数函数.

2.利用导数求函数单调区间的方法第一步：确定函数yf(x)的定义域；第二步：求导数f'(x)；第三步：解不等式f'(x)0和f'(x)0；第四步：确定f(x)的单调区间.五、作业

课本第93页练习1,4

教学反思

1.本节内容基于“教-学-评一致性”进行设计，问题一至五层层递进，让学生经历思考过程，逐步进行归纳总结，找出规律。在授课过程中，学生的思路有时会偏离我的预期，虽然不符合问题设计的预期，但事实上，是一种超越，我在课堂中给予了学生肯定。本堂课不是我的表演课，而是以学生为主体的课堂，全班学生存在个体的差异性，要对他们的优思优解进行肯定，让课堂成为他们发挥自己的舞台，集思广益，让思维的火花在课堂中碰撞出来。

2.本节课的授课方式多样，如在归纳总结规律时，设计小组讨论环节，更好地实现生生互动，体现以学生为主体。

3.本节设置的变式训练，均以检测教学目标是否达成为目的，确保本节的内容均为有的放矢。在课堂反馈中，练习题学生完成情况很好，可见，本堂课基本完成了教学目标，是一堂较为成功的课。